2024 Fiscal Year Research-status Report
Higgs bundles over Sasakian manifolds and related geometric structures
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24K00524
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
糟谷 久矢 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (80712611)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松本 佳彦 大阪大学, 大学院理学研究科, 准教授 (00710625)
後藤 竜司 大阪大学, 大学院理学研究科, 教授 (30252571)
橋本 義規 大阪公立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (60836485)
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| Project Period (FY) |
2024-04-01 – 2029-03-31
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| Keywords | 佐々木多様体 / Higgs束 / Moduli空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度はコンパクト佐々木多様体上のHiggs束および平坦束あるいは調和計量のModuli空間について研究を行った。コンパクトケーラー多様体上では、単純平坦束のModuli空間と調和計量のModulia空間及びチャーンクラスが消える安定Higgs束のModulai空間の間の非可換Hodge対応によって、HitchinのPropernessと呼ばれるModuli空間のコンパクト性が得られるが、このようなことがコンパクト佐々木多様体上でも得られるかが問題であった。コンパクト佐々木多様体上では、単純平坦束のModuli空間の部分空間として、ベクトル束のBasic構造(Reeb葉層の葉の水平持ち上げ)を固定した単純平坦束のModuli空間を考えることによって、そのModuli空間とBasic構造を固定した調和計量のModuli空間及び、Basic構造を固定した安定Basic Higgs束のModuli空間との間での非可換Hodge対応が成立する。単純平坦束およびBasic構造を固定した単純平坦束の変形理論に関するKuranishi空間を比較することによって、単純平坦束のModuli空間は有限個のBasic構造を固定した単純平坦束のModuli空間のDisjoint Unionとしてかけることがわかった。このことからコンパクトケーラーの場合のようにHitchinのPropernessと呼ばれるModuli空間のコンパクト性を導くことに成功した。これによって、リーマン面の基本群の普遍中心拡大群の単純表現のModuli空間上のdeterminantによって与えられるProper写像についての新しい解釈を得ることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Moduli空間の分解についての結果は佐々木多様体固有の現象である。新しい発見である。
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| Strategy for Future Research Activity |
単純平坦束のModuli空間が有限個のBasic構造を固定したModulia空間に分解されることを見たが、具体的にどのようなBasic構造が現れるかという点については今後詳細に調べていく必要がある。またHitchinのPropernessが証明できたので3次元佐々木多様体に関するタイヒミュラー理論の構築についても研究する。さらに佐々木多様体がケーラーオービフォールド上のSeifertファイバー束である場合にオービフォールド構造との関係についても詳細に研究を行う。
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| Causes of Carryover |
佐々木多様体のタイヒミュラー理論の構築の可能性が見出され、タイヒミュラー理論の専門家との研究打ち合わせが求められる。そのための旅費として用いる。
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