2013 Fiscal Year Annual Research Report
数理モデルにおける非線型消散・分散構造の 臨界性の未開領域解明
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25220702
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小川 卓克 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20224107)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川島 秀一 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (70144631)
高橋 太 大阪市立大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10374901)
石毛 和弘 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (90272020)
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| Project Period (FY) |
2013-05-31 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形シュレディンガー方程式 / 移流拡散方程式 / 変数係数放物型方程式 / 端点最大正則性原理 / 臨界適切性 / 有限時刻爆発 / 係数共鳴 / ベゾフ空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
○移流拡散方程式の質量臨界とSobolev臨界指数の間の場合の時間大域的挙動を切り分ける閾値を定常解を与える汎函数に関連するHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数により分類した.
○2次の非線型性を持つ非線型シュレディンガー方程式の初期値問題の適切性を考え, 空間 1次元ではスケール変換で不変となるSobolev空間(スケール不変空間)よりずっと狭い空間で非適切となり, 実際にはぎりぎりのSobolevスケールで適切であって, それより広いBesov空間ではすべて非適切で, 初期時刻にいくらでも近い時刻で解がいくらでも大きくなりうること, さらに空間2次元ではスケール変換不変の空間で非適切となり, 非斉次臨界Sobolevスケールで初期時刻にいくらでも近い時刻で解が増大することを, 岩渕 司氏と共同で証明した. この結果, ゲージ不変性を持たない2次の非線型シュレディンガー方程式では低次元の適切性の臨界空間はそれぞれの次元によって皆異なる理由で適切性・非適切性が分かれることがわかった.
○2次の連立非線型シュレディンガー方程式系の2次元での係数共鳴について研究し, 質量比が1:2となる特別な場合に散乱問題が特殊な漸近形を示すこと, さらにこれまでに知られていない漸近形の構造を瓜屋航太氏と見いだした.
○ Danchinにより示された放物型方程式の最大L-1正則性を再考し, 特に初期条件への時間変数のトレースに相当する最大正則性原理成立の必要性を清水扇丈氏との共同研究で示した. これにより, 時間L-1の最大正則性原理は初期値対して厳密に実補間空間に属す場合のみ成立し, それより改良できないことがわかる. また外力に対するDanchinによる証明の別証明を空間積分指数pが1より小さい場合の評価も得られる.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
目的としていた非局所効果を持つ移流拡散方程式の解の挙動に付いていわゆる質量臨界の退化型問題に対する時間大域挙動を明らかにすると共に, 質量臨界とSobolev臨界のあいだの指数に対する大域挙動を分ける初期値に対する特徴付けを明らかにした. これは今後の指標となる重要な成果である. また流体力学モデルからの展開による方程式の導出を厳密に示した. これにより移流拡散方程式と圧縮性粘性流体のモデルとの相互関係と類似性を研究する意味が数学的に実証された.
他方非線形分散型方程式の高次展開と臨界性の関係については2次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式の解の時間局所適切性についてベソフ空間に精密化して低次元の臨界空間を決定した. この結果の証明の過程で, 解の漸近展開の正当化をモデュレーション空間において厳密に示し, ほかの問題に対する一般化の道筋を付けた.
変数係数の放物型方程式に対する最大正則性について非回帰的空間の一例である斉次ベゾフ空間における評価を得ていたが, 時間変数の端点臨界であるL1では詳しく知られていなかった. この方向におけるいくつかの結果を
総合的に含む形で最良の仮定の下でL1最大正則性を証明した. この結果はDanchinによる結果と同一であるが非発散形式の変数係数放物型方程式の初期値問題への拡張が可能と見込まれ, その方向で証明を進めている.
なお計画におけるいくつかの国際研究集会を実施し研究交流を実現すると共に, 外国人研究者の招へいなどによる研究の進展をみた.
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| Strategy for Future Research Activity |
非局所型問題に対しては, 今後質量臨界における時間大域挙動を考察し, 時間発展解と定常解の関係を明らかにする方向で研究を進める. 解の形状分解を用いた漸近構造の解析が重要な位置を占めるものと思われる. また臨界指数間の問題について, 質量臨界の閾値に対応する場合の時間大域挙動を考える. また3次元Navier-Stokes方程式のスケールに対応する高次元の移流拡散方程式に対する時間大域的挙動を考える. この問題は優臨界の問題としては比較的解明が期待できる問題である.
非線形分散型問題に対しては2次の非線形項を持つ, 連立型問題に焦点を絞り質量共鳴問題と臨界適切性および時間大域的漸近挙動の関連を中心に研究を進め, 質量共鳴の大域的意味を考察する.
また引き続き変数係数放物型方程式の臨界最大正則性原理について研究し, 最良の係数条件の下で最大正則性を確立すると共に, 圧縮性ナビエ・ストークス方程式の臨界適切性あるいはポアッソン方程式との連立系についての臨界可解性を考察する. また最大正則性の初期値境界値問題への拡張を試みる.
現時点で考えられる研究上の問題点はほとんどないが, 不確定な要素は支援を依頼する研究支援者の雇用について支援者側の都合で雇用が間に合わない可能性があることは想定しておく. この場合研究の開始を少し遅くするか代わりの支援者を探すことで対処する.
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