2016 Fiscal Year Annual Research Report
Elucidations on unexplored regions of problems related to the criticality of nonlinear dissipative and dispersive structures in mathematical models
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25220702
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
小川 卓克 東北大学, 理学研究科, 教授 (20224107)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
川島 秀一 九州大学, 数理学研究院, 教授 (70144631)
林 仲夫 大阪大学, 理学研究科, 教授 (30173016)
高橋 太 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 教授 (10374901)
石毛 和弘 東北大学, 理学研究科, 教授 (90272020)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 准教授 (70507954)
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| Project Period (FY) |
2013-05-31 – 2018-03-31
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| Keywords | 移流拡散方程式 / 臨界質量 / 時間局所適切性 / 不確定性原理 / シャノンの不等式 / 臨界最大正則性 / エントロピー / 藤田指数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
2次元移流拡散方程式の臨界質量時の解が時間大域的に存在することを永井敏隆氏と共同で証明した. また双極性移流拡散方程式の解の非適切性を臨界Besov空間において示し, 単極性の場合との相違を示し, 非圧縮性Navier-Stokes方程式に対する場合との比較を行った. とりわけ双極型の非線形性は単極型と異なりある対称性が崩れるため, 時間局所解の適切性が得られる空間について, 斉次Besov空間の枠組みで差が現れることを示した. さらに連立型移流拡散方程式の解の時間大域的挙動の分類と, 有限時刻での解の爆発と集中現象について単独の場合の類似の現象が起こることを黒木場正城氏, 和久井洋司氏らと共に研究した. 特に解の爆発の十分性にまつわるHardy-Littlewood-Sobolevの不等式の最良定数とSobolevの不等式の最良定数とのずれを指摘し, 300次元にいたるまで両者に差があることを数値的に実証した.
瀬楽健斗氏と共同で対数型Sobolev不等式の証明を吟味し, 分数べきLaplacianの場合への拡張, および情報理論におけるShannonの不等式を精密化することにより, Boltzmann-Shannonのエントロピーを用いて, 不確定性原理のL^p-版への拡張を示した.
池田正弘氏と共同で, 非線形消散型波動方程式の解の爆発にいたるライフスパンの評価を藤田臨界指数のときに示した.
清水扇丈氏と共同で, 変数係数の放物型偏微分方程式の解の臨界L^1 最大正則性を一般化された分数べき放物型偏微分方程式の初期値問題に対して証明し, 条件によっては最大正則性を上回る, 超最大正則性が成立することを示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
2次元移流拡散方程式の臨界質量の場合の正値解の大域存在については従来決定的な成果が知られていなかった.ためこれを初めて証明した. また双極性移流拡散方程式の解の時間局所非適切性は, 単極性の場合と異なり非線形干渉項の微分次数に対する対称性が崩れるため, 時間局所解の適切性が得られる空間が斉次Besov空間の枠組みで差が現れる. これは非圧縮性Naver-Stokes方程式と圧縮性Naveier-Stokes方程式の場合と類似の構造的対称性の欠陥によるものと結論づけられる. これは圧縮性Navier-Stokes方程式の場合の非適切性などと関連して, 本研究の目的としていた臨界研究の範囲を超える成果といえる.
またそうした研究の過程で証明したShannonの不等式の一般化と最良定数の同定は, Gross-Stemの対数型Sobolevの不等式と組み合わさって, Boltzmann-Shannonのエントロピーの上下からの有界性を示し, さらにそこから一般化不確定性原理(不確定性原理のL^1型不等式)を得ることができた. これはエントロピー汎函数の制御という本来の目的からやや離れた成果であるが, 不確定性原理とBoltzmann-Shannonのエントロピーの関連を知る上で示唆的な成果である.
一方, 放物型方程式の初期値問題のL^1最大正則性は, 定数係数の場合に部分積分を用いていわゆる疑似Bochoner 空間であるところのChmin-Lerner空間で示されていたが, 2010年の我々の結果で示されていなかった時間絶対可積分の空間での最大正則性を時間絶対可積分なるBochner空間で分数べきの場合を含む変数係数の場合に証明した. 証明にはLittlewood-Paleyの2進単位分解と熱核の微分の概直交性評価が本質的に作用する.
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| Strategy for Future Research Activity |
引き続き圧縮性ナヴィエ・ストークス方程式の非適切性に関わる理論の周辺を精査する. これにより非圧縮性ナヴィエ・ストークス系に対する適切性理論が問題に個別に作用する特別なものなのか, より一般的な構造によるものなのかを理解する. その延長上には移流拡散方程式系を導く圧縮性ナビエ・ストークス方程式の強解の存在定理・非存在理論がひかえており, 臨界可解性にかかわる議論が未解決に残されている. 臨界問題と圧縮性 ナビエ・ストークス方程式に関わる周辺問題の解の適切性について考察を進める.
これらの研究に加えて, 放物型方程式の臨界最大正則性, 分散型方程式の臨界時空評価(いわゆるストリッカ－ツ評価)の臨界における拡張や, 各種変分汎函数に対する臨界函数不等式, 特に移流拡散方程式の研究で得られた一般化されたシャノンの不等式と対数Sobolevの不等式との双対性をより一般化した問題に対して研究を継続する.
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