2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25247004
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Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
斎藤 恭司 東京大学, カブリ数物連携宇宙研究機構, 教授 (20012445)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高橋 篤史 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (50314290)
柏原 正樹 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (60027381)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | primitive form / mirror symmetry / pre-potential / good-section / poly-vector field / oscillatory integrals |
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| Research Abstract |
交付申請の4課題に応じて説明する。
第一. Si Li (Boston u.), Changzhen Li (IPMU) 及びYeffeng Shen (IPMU) との共同研究で従来単独特異点に対する理論を複数特異点に対しても以下の成果を得た。i) 原始形式を多重ベクトル場を用いてBCOV理論と共通の枠組みでの記述、ii) good-section をgenerating center からuniversal unfolding に拡張する方法をBirkoff分解を用いずに振動積分的に明示表示する方法の開発、iii) その応用として原始形式の摂動論的表示、iv) すべての重み付き斉次特異点のすべてgood-section の決定、v) 対応して定まる平坦構造のプレポテンシャルの摂動論的構成、vi) 14個の例外特異点を含むcentral chargeが>1の場合について、Berglund dual 多項式のFJRW 理論から定まるプレポテンシャルと原始形式から来るプレポテンシャルとが一致することの確認。これらの成果は既にarXiveに公表し、研究誌に投稿中である。それを踏まえた国際会議を2014/2/10-14にIPMUにて開催した。
第二.楕円リー環の最高ウエイト可積分表現論に関して大きな進展はない。
第三.$A_{\frac{1}{2}\infty}$型 及び $D_{\frac{1}{2}\infty}$型の変形理論のの構成試みは成功していない.しかし上記の第一の理解に基づきgenerating center上のgood sectionの重要性が分かりその分析を始めた。
第四.周期領域の位相幾何的研究については大きな進展はない。整数行列モノイドの割り算構造とその増大関数のゼータ関数表示の論文が出版され、Kapranov氏との討論を開始した。楕円モノイドは非キャンセラティブであることが分かった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
第一. の原始形式の共同研究は当初の目標を超えたよい成果を得た。それは原始形式に対するプレポテンシャルが摂動展開の数項（特に14個の例外型については4点関数）のみで決まり、鏡像対称性の確認には摂動展開のみで決定されることが分かったからである。しかし、原始形式の当初目的である周期積分の立場からは不満が残る（今後の方策 第一のiii) 参照）。
研究実績の欄で述べたように、本年度の活動はほぼ第一の項に集中したので、第二,三,四の項については殆ど手をつけず、そのため大きな進展はなかった。以下簡単にそれぞれの場合について述べる。
第二．楕円リー環の可積分表現論に関して大きな進展はなかった。これは単純に時間をかけなかった事による。
第三.$A_{\frac{1}{2}\infty}$型 及び $D_{\frac{1}{2}\infty}$型の関数の変形理論をL^2論的アプローチや核型空間的アプローチを試みたが最終的に満足する結果に至っていない。無限次元変形理論とそれらの無限次元位相ベクトル空間論とが未だうまくかみ合っていないことが原因と思われる。そこで第一の研究実績を無限次元変形の場合の類推として、まずgood sectionをgenerating center に構成する方針を定め、その後どのような変形理論が必要か考察することにした。
第四.原始積分の周期領域に関しては大きな進展はない。行列モノイドに対する何らかのEilenberg-Maclane 空間を考えることに意味あるのかどうかも不明である。楕円モノイドについては石部氏との共同研究で非キャンセラティブなので、従来のBrieskorn-Saito 法では、語の問題を含む組み合わせ論的問題は解明出来ないことが分かった。
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| Strategy for Future Research Activity |
交付申請時における四つの目的に対応して、以下のような研究推進方策を考える。
第一. 原始形式を巡っては研究実績の概要第一 で述べたように単独特異点でない場合に対しても i) 鏡像対称性の適用範囲の更なる拡大、ii) 鏡像対称性の摂動論的ではない(量子)幾何学的理解を深める、iii) 研究実績の概要の第一,ii) で述べた振動積分表示を用いて、原始形式の解析性について解明して, 本来の周期積分との関係を取り戻すこと。
第二. 新年度には大橋 亮介氏が楕円ルート系の共同研究者に加わるので、主に可積分系との関係を考察したい。楕円リー環及びカスピダルリー環の最高次表現論に関する原稿の早期完成も目指す。
第三. $A_{\frac{1}{2}\infty}$型 及び $D_{\frac{1}{2}\infty}$型のgenerating center における good section の確定から始める。これは高度に非線形な超越関係であるが、その方程式系がどのようなものか明示してみる。
定義関数が素朴な意味で斉次でないのでgood section の斉次性の条件をどのように記述するかが問題となる。
第四. 原始積分の周期領域に関しては、A模型側からの（たとえば行列分解圏の）視点で考察してみる。整数行列モノイドについてはKapranov氏のF_0の理論との比較よる分類空間の研究や想定される空間の構築をはかりたい。楕円モノイドについては、キャンセラティブ化のためにはどのような新たな関係式が必要になるか調べることにより、次の手がかりを得たい。
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