2014 Fiscal Year Annual Research Report
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25247006
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
小林 俊行 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (80201490)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 解析学 / 幾何学 / 表現論 / リー群 / 分岐則 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) （分岐則の有限重複度）昨年までの研究で、研究代表者は、簡約リー群Gとその簡約部分群Hに対し、Gの既約表現からHの既約表現へのH絡作用素の次元が常に有限次元になるための組（G,H)に関する必要十分条件を決定した(Advances in Mathematics 2013, with T.Oshima)。この性質は無限次元表現の分岐則やsymmetry breaking operatorsの研究において重要な役割を果たすと考えられる。一方、分岐則の有限重複度という性質から新谷関数の次元が有限であることが導かれるが、今年度は、その逆も正しいことを証明した（第３論文）。さらに、上記の判定法を適用し、さらに線形化と不変式論の手法を用いることにより、分岐則の有限性を与えるような半単純対称対(G,H)を松木氏との共同研究で完全に決定し、分類を与えた（第２論文）。
(2) (F-method による同変微分作用素の研究）SL(2,C)の既約表現からSL(2,R)の既約表現へのsymmetry breaking operatorsの内、微分作用素であらわされるものを、研究代表者が昨年までの研究で開発したF-methodを適用することによって、具体的に決定した。さらに解析接続の手法を用いてRankin-Cohen の双線形微分作用素とのつながりを解明した（第４論文他）
（３）（極小表現のシュレーディンガーモデル）研究代表者は、共形幾何を用いた極小表現の構成に成功したことをきっかけに、「極小表現をモチーフにした大域解析」の研究を主導してきたが、本年度は、ジョルダン代数を援用して極小冪零軌道の幾何的量子化として、ラグランジュ部分多様体上の二乗可積分関数のなすヒルベルト空間に極小表現を実現するモデルを構成した長編の論文（第７論文）をJ.HilgertとJ.Mollersとの共著で発表した（なお、この論文に対して2015年度JMSJ論文賞が授与された）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
内外の研究協力者と夜に日をついでハードワークをしたこと、それによって、研究計画をたてたときには見えなかった数学的風景が見え、より本質的な部分にエネルギーを注ぐことができたこと、強力な国際チームを牽引して新しい結果を次々に公表することによって、内外の情報が入りやすくなったこと等が主因であると考える。
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者が主導している
（１）非リーマン局所対称空間のスペクトル理論
（２）symmetry breaking operatorsの解析
のプロジェクトをフランス・デンマーク・チェコの国際チームを牽引して研究を進める。
国内では特に前半は旗多様体の軌道構造の共同研究のため松木教授（京都）を何度か訪問し、秋には、フランスにおけるIHES研究所に滞在し、Benoist教授と緩増加な等質空間の研究を推進し、冬にはSpeh教授を東京に招いて共同研究を推進する予定である。さらに、Yale大学で行われるHowe教授の70歳記念研究集会をはじめとする重要な内外の研究集会に積極的に出張を行い、また高木レクチャーを主催し、これらの参加者と情報交換とともに、新しい研究成果が遭遇することによってさらに飛躍が生まれる可能性が見込める場を設ける。本研究の発展や転機が生じた場合は必要と緊急度に応じて研究組織のメンバーが出張して直接研究連絡を行うか、あるいは、その研究協力者を招聘する。
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