2013 Fiscal Year Annual Research Report
複雑な系の上の確率過程―離散モデルとそのスケール極限の解析
| Project/Area Number |
25247007
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (A)
|
| Research Institution | Kyoto University |
|---|
Principal Investigator |
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
|
|---|
| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
竹田 雅好 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30179650)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
日野 正訓 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40303888)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | 確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 国際研究者交流 / イギリス：カナダ：ドイツ：韓国：アメリカ |
|---|
| Research Abstract |
１。熊谷は２次元uniform spanning tree上のランダムウォークの収束について考察した。ランダムウォークのスケール列から収束する部分列が取れる事を示し、さらに極限過程の熱核の詳細な評価を得た。（M.T. Barlow氏、D. Croydon氏との共同研究で、現在論文を執筆中。）木上はユークリッド空間を含む Sierpinski carpet 上の Brownian motion の time change について考察し、speed 測度がユークリッドの距離に対して volume doubling property を持つときには、ユークリッドの距離と quasisymmetric な距離が存在して time changed process の熱核はその距離に関して sub-Gaussian 型の評価を持つことを示した。
２。相川は一般領域のDirichlet最小固有値を容量的幅を用いて評価した。熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivityを容量的幅とGreen関数により導いた。竹田は強Feller性と既約性を持つ対称マルコフ過程に対して、 そのレゾルベントにある種の緊密性を仮定すると、その生成作用素にground stateが存在することを示した。その応用として、一様なドンスカー・バタダァーン型大偏差原理を示した。
３。舟木はヤング図形の集合上で空間的な一様性のない保存量から定まるカノニカルなアンサンブルを考え、サイズを大きくする極限の下でのアンサンブル同値を示した。
４。日野はウィナー空間上の局所有界変動関数に関する理論展開を行った。一般論及び確率解析への応用を論じ、従前知られていた有界変動関数の場合とほぼ同様な結果が得られることを示した。また、古典ウィナー空間における具体的な集合の指示関数が局所有界変動となるための十分条件を与えた。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
確率論的手法と実解析的手法を融合させることにより汎用性の高い手法を編み出し、広い範疇で離散モデルとそのスケール極限の上の物理現象を解析するという中心課題に関連して、２次元uniform spanning tree上のランダムウォークのスケール極限の解析が進むなど大きな進展があった。確率論的ポテンシャル論の基礎理論については、地道な成果は出ているものの驚くべき成果には至っていない。応用面については、異常拡散をキーワードとした諸分野の研究者との合同研究集会で講演するなど研究交流が進んでおり、全体的にはまずまずのペースで進展しているといえる。研究代表者がICMの招待講演者に選ばれるなど、本研究への国際的評価の高まりを実感している。
|
| Strategy for Future Research Activity |
幅広い分野の知識と技法が必要となる本研究課題の推進には、広い意味での関連研究者との研究交流が必要不可欠である。2014年度も代表者、分担者は数多くの国際研究集会での招待講演を依頼されており、そのような機会を用いて最新の情報の収集を行い、研究のさらなる推進を目指す。また、海外の一流研究者の招聘も引き続き活発に行い、連続講演などを通じて相互理解をはかり、共同研究を推進する。さらに、夏の学校の開催などを通じて当該研究の浸透と若手研究者の育成をはかり、関連研究者への情報提供の場を積極的に設けて行く予定である。
|
