2014 Fiscal Year Annual Research Report
複雑な系の上の確率過程―離散モデルとそのスケール極限の解析
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25247007
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
熊谷 隆 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (90234509)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
竹田 雅好 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30179650)
日野 正訓 大阪大学, 基礎工学研究科, 教授 (40303888)
舟木 直久 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (60112174)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 確率論 / 数理物理 / 解析学 / 複雑系 / 統計力学 / 国際研究者交流 / イギリス：カナダ：アメリカ：フランス |
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| Outline of Annual Research Achievements |
１。熊谷は昨年に引き続き、２次元uniform spanning tree(UST)上のランダムウォークの収束について考察した。ランダムウォークのスケール列の部分列が、UST上のブラウン運動に収束する事を示し、さらに極限過程の熱核の詳細な評価を得た。また、ランダムコンダクタンスモデルでコンダクタンスの値が上から有界、原点周辺で多項式増大する場合に、対応するマルコフ連鎖の熱核の精密な評価を与えた。特に、ガウス型熱核評価をもつための条件を、原点での増大度のオーダーを用いて導きだした。木上は、n-次元の立方体を含む Sierpinski carpets の上の Brownian motion の time change について考察を行い、time change が可能であり、熱核が存在し連続関数になるための十分条件や、熱核の漸近挙動について幾つかの結果を得た。
２。相川は、一般領域のDirichlet最小固有値を容量的幅を用いて評価した。熱半群に対するIUを容量的幅とGreen関数により導いた。集合の capacityに関する密度を考察し、密度をとる球の半径が大きくなったときの極限は0か1しかないことを導いた。竹田は、ディリクレ形式にポテンシャル項を加えてできる正定値シュレディンガー形式に対する臨界性・劣臨界性、最大値の原理、リュービル性の判定を時間変更過程のスペクトル下限で与えた。
３。舟木は、水中の泡の運動を記述するRayleigh-Plesset方程式の確率摂動ならびに界面揺動を記述するKPZ方程式の不変測度等について調べた。
４。日野は、フラクタル上のエネルギー測度の分布についての研究を行った。R. Bell, C.W. Ho, R.S. Strichartzによる先行研究において提出された２つの予想のうち1つを肯定的に解決した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
確率論的手法と実解析学的手法を融合させることにより汎用性の高い手法を編み出し、広い範疇で離散モデルとそのスケール極限の上の物理現象を解析するという中心課題については、原点付近に多項式増大を持つランダムコンダクタンスモデルにおいて、熱核のガウス型評価が成り立つための必要十分条件を明らかにするなどの進展があった。確率論的ポテンシャル論の基礎理論については、boundary Harnack principleに関する論文が雑誌に掲載されるなど、研究成果が目に見える形になった。
このように、全体的にはまずまずのペースで進展していると言える。代表者や分担者は海外での多くの研究集会に招待され、特に熱核の安定性の成果については、我々の研究に対する高い評価を実感している。研究代表者が国際数学者会議（ICM）で日本の確率論研究者として２０年ぶりに招待講演を行ったことは、特筆に値する。最終年度に向け、さらに成果を深めていきたい。
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| Strategy for Future Research Activity |
次年度も代表者・分担者はいくつもの国際研究集会での招待講演を依頼されているので、そのような機会を用いて本研究の成果を発信するとともに最新の情報の収集を行い、研究の推進を目指す。海外の一流研究者の招聘も活発に行い、連続講演などを通じて相互理解を諮り、共同研究を推進する。さらに最終年度は夏の学校の開催を予定しているので、これらを通じて当該研究の浸透と若手研究者の育成をはかり、関連研究への情報提供の場を設けたい。
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