2014 Fiscal Year Annual Research Report
劣モジュラ的な離散構造に注目した最適化基礎理論の展開と高速アルゴリズム開発
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25280004
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤重 悟 京都大学, 数理解析研究所, 特任教授 (10092321)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高澤 兼二郎 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (10583859)
平井 広志 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (20378962)
谷川 眞一 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (30623540)
牧野 和久 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (60294162)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散最適化 / アルゴリズム / 劣モジュラ構造 / 組合せ最適化 / 数理計画 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
機械学習を始め、離散最適化・組合せ最適化の関連分野において、劣モジュラ構造あるいは劣モジュラ的な類似の構造が現れる問題を調査し、系統的に分類し吟味して、劣モジュラ的な構造の観点から重要で有用であると考えられる未解決問題ならびに未開拓な課題を整理し、今後の研究に繋がる有用な成果を得た。具体的には、主要な成果は、以下の通りである。
1. 劣モジュラ的な離散構造を有する新たな関数系として横断劣モジュラ関数の概念を導入し、横断劣モジュラ関数最小化問題に対する最大最小定理を示した。さらに、ダイアモンドの直積束上の劣モジュラ関数やk-劣モジュラ関数などの応用上特に重要な特殊ケースに対し、付随する多面体構造の解析を行った。特に横断劣モジュラ関数の概念によって既存の多くの成果に対する統一的な視点が与えられた。2. 劣モジュラ的な離散構造に関わる基本的な多面体として双劣モジュラ多面体があり、離散凸関数を定める定義域の単体分割をその単体間の局所的な接続関係を双劣モジュラ的に定めることによって広がる離散凸関数のクラスを示した。3. ネットワーク合成問題に対するGomory-Huのアルゴリズムと半整数性を新しい立場から見直し、あるクラスの歪優モジュラ被覆問題にまでアルゴリズムと半整数性が拡張できることを示した。また、それを応用して、さらに広いクラスに対して近似アルゴリズムを構築した。4. 2人零和平均利得確率ゲームに対する定常戦略を考察し、与えられた正定数dに対して、確率ゲームがd-エルゴード的である場合、24d-エルゴード的であるような定常戦略を求めるアルゴリズムを構築した。5. ２部グラフにおける $C_4$-free 2-マッチングに対して，２部グラフのDulmage-Mendelsohn 分解や一般グラフのEdmonds-Gallai 分解に対応する分解定理を証明し、その有用性を示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
順調に研究成果をあげて、国内外の会議で発表し、学術専門誌への発表や投稿を行ってきている。また、今後の研究の展開へ向けての発芽的な手がかりを得て、研究の新たな展開を試みている。
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| Strategy for Future Research Activity |
関連研究に関する調査・計算機実験により得られた知見を基に、研究の更なる展開を図る。全体の計画としては、
1.これまでの調査・研究によって得られた研究課題を整理し、全テーマの研究課題群を横断的に吟味して、相互の関連性を明らかにする。
2.全テーマの研究課題群の中で密接に関連することが明らかとなり、重要であると認識された問題群を一括りにして、研究推進の新たな課題として、本科研費のメンバー全体でその情報を共有する。
3.日常的に(必要に応じてメールなどによって)議論や意見交換をして、アイデアなどの情報交換を行なう。研究分担の役割にとらわれることなく独立に、研究課題に応じて適宜、サブグループを構成して、集中して課題の解決に向けて共同研究を進める。
4.新たなアルゴリズム開発に繋がる成果が得られたら、計算機実験によって実用性の顕彰を行なうと共に、実装上の問題点を吟味して、理論の再構築を試みる。
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| Causes of Carryover |
未使用額が比較的少なかったので、次年度の始めに必要となる海外出張の旅費の一部として繰り越すことを決めた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成２７年５月の英国における共同研究のための旅費の一部に充当する計画である。
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