2015 Fiscal Year Annual Research Report
劣モジュラ的な離散構造に注目した最適化基礎理論の展開と高速アルゴリズム開発
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25280004
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
藤重 悟 京都大学, 数理解析研究所, 特任教授 (10092321)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
高澤 兼二郎 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (10583859)
平井 広志 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 准教授 (20378962)
谷川 眞一 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (30623540)
牧野 和久 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (60294162)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 離散最適化 / アルゴリズム / 劣モジュラ構造 / 組合せ最適化 / 数理計画 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
機械学習を始め、離散最適化・組合せ最適化の関連分野において、劣モジュラ構造あるいは劣モジュラ的な類似の構造が現れる問題を調査し、系統的に分類し吟味して、劣モジュラ的な構造の観点から重要で有用であると考えられる未解決問題ならびに未開拓な課題を整理し、今後の研究に繋がる有用な成果を得た。具体的には、主要な成果は、以下の通りである。
1.古くから研究されているCongestionゲームについて、Fotakis(2010)によって示された局所最適な更新の繰り返しで均衡解に高速に収束する現象が、M凸関数に対する貪欲算法に他ならないことを明らかにした。
2.数理最適化分野で最も基礎的な線形相補性問題(LCP)の入出力の疎性に関わる入力行列の行/列毎の非零要素数の最大値や解の非零要素数をパラメータとして扱い、パラメータ化計算量を明らかにした。
3.歪優モジュラ関数に対する交差解消ゲームは、RedとBlueの2人のプレイヤーからなるゲームで、カット被覆線形計画問題の双対解をラミナー解にする交差解消プロセスを抽象化したものであり、このゲームに対し、Karzanovによる0-1値歪優モジュラ関数に対する既存結果を拡張・改良した多項式時間Red必勝戦法を与え、その帰結として，広いクラスのカット被覆線形計画の双対解に対する強多項式時間交差解消アルゴリズムを与えた。
4.劣モジュラ的な離散構造を有する新たな関数系として、Huber-Krokhin-Powell(2013)によって導入された歪双劣モジュラ関数に対する最小化問題は、Huber-Krokhin(2014)によって楕円体法を利用したアルゴリズムが知られていたが、組合せ的アルゴリズムの開発は未解決であった。この問題に対し、Iwata-Fujishige(2005)およびMcCormick-Fujisge(2010)による双劣ジュラ関数最小化アルゴリズムを基礎に、歪双劣モジュラ関数最小化問題に対する組合せ的強多項式時間アルゴリズムの開発を行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
順調に研究成果をあげて、国内外の会議で発表し、学術専門誌への発表や投稿を行ってきている。また、今後の研究の展開へ向けての萌芽的な手がかりを得て、研究の新たな展開を試みている。
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| Strategy for Future Research Activity |
関連研究に関する調査・計算機実験により得られた知見を基に、研究の更なる展開を図る。全体の計画としては、
1.これまでの調査・研究によって得られた研究課題を整理し、全テーマの研究課題群を横断的に吟味して、相互の関連性を明らかにする。
2.全テーマの研究課題群の中で密接に関連することが明らかとなり、重要であると認識された問題群を一括りにして、研究推進の新たな課題として、本科研費のメンバー全体でその情報を共有する。
3.日常的に(必要に応じてメールなどによって)議論や意見交換をして、アイデアなどの情報交換を行なう。研究分担の役割にとらわれることなく独立に、研究課題に応じて適宜、サブグループを構成して、集中して課題の解決に向けて共同研究を進める。
4.新たなアルゴリズム開発に繋がる成果が得られたら、計算機実験によって実用性の顕彰を行なうと共に、実装上の問題点を吟味して、理論の再構築を試みる。
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