2016 Fiscal Year Annual Research Report
多重ゼータ関数、多重保型L関数の代数的および解析的挙動の研究
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25287002
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
松本 耕二 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (60192754)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小森 靖 立教大学, 理学部, 准教授 (80343200)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ関数 / ルート系のゼータ関数 / Goldbach 予想 / Riemann 予想 / 不確定特異点 / Laurent 展開 / Poincare 多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度に彫られたいくつかの新知見について述べると、まず多重ゼータ関数の負の整数点での挙動について、その多変数関数としての Laurent 展開を明示的に求めるためのアルゴリズムを発見し、また古典的な Bernoulli 数を用いた極限値の具体的表示にも成功した。この研究においては、Friedman らが有効に活用していた古典的な Raabe 型の補題を利用するアイデアと共に、Mellin-Barnes 型の積分公式を利用することによる、twisting factor の個数に関する帰納的議論も重要なポイントとなっている。
より一般のルート系のゼータ関数についても、整数点での値についての関係式と Poincare 多項式との関係を、Weyl 群の作用を介して構造論的に解明する研究が進んだ。より一般に、表現論的な、ないしは組み合わせ論的な構造を追求するための手がかりとなる結果だと考えられる。
また Goldbach 予想に付随する、分子に複数個の von Mangold 関数を載せた Dirichlet 級数も一種の多重ゼータ関数と見ることができるが、この級数を研究することで、 Dirichlet の L 関数の零点の分布、特に一般 Riemann 予想や零点の独立性予想が、 Goldbach 予想に代表される加法的問題とどのように結びつくのか、が分かってくる。このような方向でも、円周法の活用なども行うことで、分析を深めることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
負の整数点での多重ゼータ関数の挙動の解明、また Goldbach 予想に付随する Dirichlet 級数の解析的性質の研究などは、ここまで解明が進められるとは思っていなかったような深い結果にまで到達した。充実した研究が推進できたと思う。
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| Strategy for Future Research Activity |
基本的には今年度の研究をさらに発展せたいと考えている。特に、分母が高次の多項式であるような一般化された多重ゼータ関数については、より複雑な状況が現れるであろうことが、すでにいくつかの例で観察されている。例えばある種の「周期」なども明示公式中に現れることが予想され、保型形式論との関連もあり得るので、その方面の専門家との連携も必要になってくると考えている。
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| Causes of Carryover |
年度末における旅費の支出が、最終的に概算より少し少額で済んだための少額の持ち越しである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の旅費の一部として使用する。
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Research Products
(7 results)
