2015 Fiscal Year Annual Research Report
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25287003
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
並河 良典 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80228080)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | シンプレクティック特異点 / ポアソン変形 / 双有理幾何 / べき零軌道 / 複素接触幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シンプレクティック特異点は、代数幾何や幾何学的表現論に頻繁にあらわれる。知られているシンプレクティック特異点は、半単純リー環のべき零軌道閉包,Slodowy 切,Quiver 多様体,商特異点等,すべて良い1次元代数トーラスの作用がはいる。良い１次元代数トーラス作用によって,シンプレクティック多様体をアファイン多様体とみなしたものを, conical symplectic variety と呼ぶ。Conical symplectic variety の座標環 R は,次数付き環になるが,R の極小斉次生成元を考え,この生成元の次数のうち最大のものを,極大ウエイトと呼ぶ。この時,次の有限性結果を証明した。
「定理：自然数 d, N に対して、次元が 2d, 極大ウエイトが N であるようなconical symplectic variety の同型類は、有限個である。」
この結果は、Compositio Math に掲載予定である。さらに、極大ウエイトが 1 のconical symplectic variety も完全に決定した：
「定理：極大ウエイトが 1 であるような conical symplectic variety は、偶数次元のアファイン空間と標準シンプレクティック形式の組か、複素半単純リー環のべき零軌道とKostant-Kirillov 形式の組のいずれかに同型である。」
この結果は、2016年３月に arXiv に投稿されている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
有限性定理に関しては、ポアソン変形と、klt 対数的ファノ多様体の有界性を組みあわせれば導出できることは、かなり前から気が付いていた。一方、極大ウエイト 1 の conical symplectic variety の分類に関しては、複素リー環の余随伴軌道であることは、比較的容易に示せたものの、このリー環が実際に半単純であることが長い間示せなかった。今年度の最後に、この部分が解決でき、分類が完成した。
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| Strategy for Future Research Activity |
有限性定理によって、conical symplectic variety の分類がようやく始まった段階である。この方向では、Slodowy 切片の特徴付けが面白い課題である。さらに、シンプレクティック特異点には、かならず良い１次元代数トーラス作用が入るだろうという、Kaledin 予想も長年の懸案問題である。一方で、最近、Braden, Licata, Proudfoot, Webster によって, シンプレクティック特異点解消の間の 「シンプレクティック双対性」とよばれる現象が定式化されてきている。シンプレクティック特異点を、シンプレクティック双対性の観点から研究することが、今後の研究の主流になる気がしている。
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| Causes of Carryover |
２０１６年度に４か月間、研究員を一名雇用する計画をたて、その費用を次年度に持ち越した。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２０１６年度４月から４か月間、研究員を一人雇用した。
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