2013 Fiscal Year Annual Research Report
非コンパクト空間上の非線形楕円型作用素によるモジュライ理論の構成
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25287009
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
加藤 毅 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20273427)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ゲージ理論 / モジュライ空間 / キャッソンハンドル / 非コンパクト多様体 |
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| Research Abstract |
非コンパクト空間上のゲージ理論に関して、新しい函数空間を導入することでモジュライ空間の部分的な構成を行った。一般に非線形方程式の線形化写像の像が閉でないと、それ以降の構成がストレートにはうまく行かないことがわかっている。その理由はその函数空間に対する無限次元陰関数定理が適用できないためである。通常のソボレフ空間を用いる限りその困難はしばしば現れるが、例えば重みつきソボレフ空間を用いることである状況ではそれが回避されてきた。一方でそれが適用可能な非コンパクトリーマン多様体のクラスは非常に限られており、より一般の空間を扱うために適応した函数空間の構成が必要とされてきている。通常のソボレフ空間を用いた場合、線形化写像に関する複体のコホモロジーはunreduced cohomologyと呼ばれ、ほとんどのゲージ理論ではこちらが用いられている。一方でreduced cohomologyに間しては、これまで群コホモロジーに関わる研究では扱われてきていたが、非線形解析ではほとんど用いられてこなかったと言ってよい。ここでは非コンパクト空間上の非線形楕円型作用素のモジュライ理論を、新しい函数空間を用いて展開するための第一歩として、キャッソンハンドル上のヤンミルズゲージ理論に対して、reducedソボレフ空間を用いた構成の研究を行った。キャッソンハンドルの複雑性を導く際の議論のポイントとなる、自己双対微分作用素の非全射性をここでは導いた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
非コンパクト空間上の非線形解析に関わる最もコアな側面の研究を行っており、そのスピードはゆっくりではあるが研究成果は前進している。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後は、reduced ソボレフ空間を用いた非コンパクト空間上の解析をより徹底してすすめる。
特にそれを用いることで無限被覆空間上でのサイバーグ•ウイッテン理論の構成を行う。一般のDirac作用素は、ドラム複体に比べて位相的にアプリオリな制約が薄いため、非コンパクト空間上で扱うことは通常の函数空間を用いるだけでは達成することは難しい。ヤンミルズゲージ理論でできた解析のうち一般化できる部分を抽出して関数解析の枠組みを構成する。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
幾何学関連図書を購入する予定であったが、在庫がなかったため、次年度に購入する予定である。
昨年度購入できなかった幾何学関連図書の購入を行う。
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