2015 Fiscal Year Annual Research Report
Donaldson-Tian-Yau予想の存在問題の研究
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25287010
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
満渕 俊樹 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80116102)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
中川 泰宏 佐賀大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90250662)
新田 泰文 東京工業大学, 理工学研究科, 助教 (90581596)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Donaldson-Tian-Yau予想 / K-安定性 / テスト配位 / Donaldson-二木不変量 / 偏極代数多様体 / 定スカラー曲率Kaehler計量 / extremal Kaehler 計量 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
Donaldson-Tian-Yau予想に関して，TianやChen-Donaldson-SunによるKaehler-Einstein計量の場合の解決にもかかわらず，一般偏極の場合やextremal Kaehler計量の場合は依然未解決である．昨年度に引き続き，この一般偏極の場合を念頭に，Donaldson-Tian-Yau予想の解決を目指して，関連する諸問題に取り組んだ．その結果
(1) 個々のテスト配位に対して定義されるDonaldson-二木不変量が，指数が無限大に発散するようなテスト配位列に対する不変量に拡張されるという研究代表者の論文「The Donaldson-Futaki invariant for sequences of test configurations」および
(2) 強K-安定性から漸近Chow安定性が従うという，新田泰文氏との共著論文「Strong K-stability and asymptotic Chow-stability」
が2015年初めにProgress in Math., Birkh\"auser, の第308巻に出版されたが，同年末に，この (1) と (2) をさらに発展させた結果として，論文
(3) 「The Yau-Tian-Donaldson conjecture for general polarizations, I」を発表した．この論文は強K-安定性から定スカラー曲率Kaehler計量の存在を導く具体的なプランを提示したもので，我々の研究課題にも大きな意味をもつものである．査読も終了し， これについては，2016年中にSpringer Japanから出版される予定の"Geometry and Topology of Manifolds"という冊子に掲載される予定である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
Donaldson-Tian-Yau予想に関して，上記実績の (1), (2) が出版されたのみならず，(3) の「The Yau-Tian-Donaldson conjecture for general polarizations, I」の査読も完了し，2016年中にSpringer Japanから出版される予定の"Geometry and Topology of Manifolds"という冊子に掲載されることとなった．この結果，強K-安定性から定スカラー曲率Kaehler計量の存在を導く具体的なプランが得られることとなった．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究チームを中心として，前年度に引き続きDonaldson-Tian-Yau予想に関する小研究集会を繰り返し開き，知見を深めるとともに問題を様々な角度から考察し，その発展的解決を系統的かつ強力に推進する計画である．一方で我々の研究を基礎から支える備品や消耗品として，計算機ソフトや計算機関連の備品も購入する予定である．
また金沢での複素幾何国際シンポジウムや，Pacific Rim Complex Geometry Conference，さらにはTrends in Modern Geometry 等の国際研究集会について組織・参加することによって，情報収集のみならず研究成果の発表も行い国際的なレビューを受けたい．
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