2016 Fiscal Year Annual Research Report
カラビーヤオ構造と一般化された幾何構造の統合的研究
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25287011
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
後藤 竜司 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30252571)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小木曽 啓示 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (40224133)
満渕 俊樹 大阪大学, その他部局等, 名誉教授 (80116102)
松本 佳彦 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 助教 (00710625)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 一般化された複素構造 / 一般化されたケーラー構造 / ポアソン構造 / モーメント写像 / ケーラー・アインシュタイン計量 / 一般化されたケーラー・アインシュタイン計量 / 双エルミート構造 / 変形理論 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一般化された複素構造は Hitchin により２００２年に導入された多様体上の幾何構造であり、複素構造、シンプレクティック構造を特別な場合として含み、さらにこの二つの幾何構造が混合した新しい幾何構造となっている. 一般化されたケーラー構造は通常のケーラー構造の拡張であり、双エルミート構造と同値であることが示され、また非可換代数多様体との関連も示されて注目されている.
ケーラー多様体上に非零な正則ポアソン構造があると、ポアソン構造のランクの変化に応じて、構造のタイプ数がジャンプする一般化された複素構造が構成され、興味深い研究対象となっている. 特に、複素曲面上、ポアソン構造により得られた一般化された複素構造に関しては、ポアソン構造の零点集合が非特異ならば、その変形は常に非障害的であり、変形は零点集合の補集合の第二特異コホモロジーにより与えられるという顕著な結果を証明した.
ケーラー幾何学において、スカラー曲率がモーメント写像として現れることが知られている（Donaldson-Fujiki の定理）. 申請者は昨年度の研究において一般化されたケーラー多様体においても、無限次元のシンプレクテッィク幾何の枠組みが適用され、モーメント写像が構成され、このモーメント写像が一般化されたケーラー多様体のスカラー曲率と見なせることを示した. 一般化されたケーラー多様体では、Levi-civita 接続はうまく定義されない. また曲率もテンソルとはならないなどの問題があるのだが、スカラー曲率、およびリッチ曲率はモーメント写像により、自然に定義される点が注目すべき点である. これらの研究成果は論文 scalar curvature as moment map in generalized K\"ahler geometry にまとめて、Arxiv 上の発表し、また、海外の研究集会でも講演した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
一般化されたケーラー幾何学において、通常のケーラー幾何、リーマン幾何のようにレビ・チビタ接続の拡張を考えると様々な困難に直面し、レビ・チビタ接続の適切な一般化された定義を与えることは出来ない.また、ベクトル束の曲率を一般化されたケーラー幾何学にて通常のように定義すると、曲率が微分作用素となってしまい、通常の幾何学のようにテンソルにならない. そこで、通常の方法は諦めて、シンプレクティック幾何におけるモーメント写像に着目した.
ケーラー幾何において、スカラー曲率がモーメント写像として現れる現象が知られている.一般化されたケーラー幾何学においても、シンプレクティック幾何の枠組みが適用できるか、調べてみると、この枠組みは自然に拡張され、ケーラー幾何の場合はシーゲル上半空間をファイバーとするファイバー束の切断全体の空間が無限次元のシンプレクティック多様体となるのであるが、一般化されたケーラー多様体の場合は、type AIII のリーマン対称空間（有界複素領域）がファイバーとなるファイバー束の切断全体の空間をシンプレクティック多様体とすることで、自然な拡張となっており、モーメント写像として、一般化されたケーラー多様体上のスカラー曲率が定義される.
この発想の転換が研究を進展させるキーポイントとなっている.
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| Strategy for Future Research Activity |
申請者のこれまでの研究により、ケーラー多様体上に正則なポアソン構造があれば、通常のケーラー多様体を非自明な一般化されたケーラー多様体へ変形出来ることが証明され 一般化されたケーラー多様体が豊富に存在することが示された(これは Goto's deformation theorem として確立している). Donaldson-Tian-Yau 予想の解決に代表される最近のケーラー幾何学の急速な発展を踏まえて、一般化されたケーラー幾何学においても一般化されたケーラー・アインシュタイン構造、一般化された K-安定性の概念を導入し、この二つが同値であるという予想を定式化し、さらにはその解決を目指したい. さらに、ベクトル束の場合の 小林・Hitchin 対応を一般化されたケーラー多様体の場合に拡張することを目標とする. 今年度はベクトル束の場合にこのストーリーを拡張する. ケーラー多様体上のベクトル束において、アインシュタイン・エルミート接続の存在と正則ベクトル束の安定性の同値性を与える小林・Hitchin 対応はよく知られている.
一般化されたケーラー多様体上、一般化された接続にたいしては曲率は定義されないという困難な点が常につきまとうのであるが、しかし、シンプレクティック幾何学の枠組みを使いモーメント写像として、一般化されたアインシュタイン・エルミート接続の概念を確立し、一般化された安定正則ベクトル束との同値性を示し、小林・Hitchin 対応を一般化されたケーラー多様体へ拡張することを目標にする.
ポアソン・モジュールや co Higgs 束など、具体的な一般化された正則ベクトル束（層）にたいしてこの安定性は非可換代数幾何と密接に関連してると予想される.
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| Causes of Carryover |
2017年度には二つの国際研究集会をオーガナイズする予定があり、国内外から多数の研究者を招聘する必要があり、次年度使額が生じた.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
2017年９月には第３回日中幾何学研究集会が東北大学で開催され、１１月には第２３回複素幾何シンポジウム金沢が開催され、これら研究集会に国外から、研究者を招待する費用に使用する.
また国内からも多数の研究者を招待する費用に使用する.
また、研究上必要な最新の資料、文献、雑誌の購入、研究上の不可欠なコンピューターの購入などにも使用する予定である.
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