2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25287012
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
庄田 敏宏 佐賀大学, 文化教育学部, 准教授 (10432957)
川上 裕 山口大学, 理工学研究科, 講師 (60532356)
小野寺 有紹 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 助教 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 国際研究者交流（ブラジル：韓国） / 国際情報交換（米国） / 変分問題 / 極小曲面 / 平均曲率一定曲面 / 分岐理論 / 安定性 |
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| Research Abstract |
変分問題の解の大域的性質、安定性、解空間の構造を研究することは重要である。本研究では、以下に述べるように、ユークリッド空間内の三重周期極小曲面の成す空間の構造を明らかにする手がかりを得、また、平均曲率一定超曲面に対するある変分問題の安定解を決定した。
１．庄田敏宏氏（佐賀大学）とPaolo Piccione氏（ブラジル・サンパウロ大学）との共同研究により、３次元ユークリッド空間内の三重周期極小曲面に対する分岐理論を構成した。さらに、これを応用することにより、既知の三重周期極小曲面族からの分岐の例を発見した。即ち、H族とrPD族には分岐点がそれぞれ一つあり、tP族とtD族には分岐点がそれぞれ二つあることを証明した。
２．３次元ユークリッド空間内の互いに平行でない二平面（支持平面と呼ぶ）上に自由境界を持ちこれらの平面が囲む閉領域内にはめ込まれた曲面全体の集合を考える。曲面の境界が囲む支持平面内の領域の面積にあらかじめ与えた重み定数をかけたものを濡れエネルギーと呼ぶ。曲面の面積と濡れエネルギーの和を曲面の総エネルギーとする。曲面が囲む符号付き代数的体積を保つ任意の変分（許容変分と呼ぶ）に対する総エネルギーの臨界点（解と呼ぶ）は、支持平面との接触角が一定であるような平均曲率一定曲面となる。各解は、任意の許容変分に対する総エネルギーの第二変分が非負である時に安定であると呼ばれる。濡れエネルギーが正である場合について、Jaigyoung Choe氏（KIAS, Korea）との共同研究により、以下の結果を得た。
(1) 安定解であって、各支持平面との交わりが一つの単純閉曲線であるものは、球帽（球面の部分集合）に限ることを証明した。(2) 一般次元ユークリッド空間内の超曲面に対して問題を一般化し、各支持超平面との交わりが凸閉部分多様体であるものは球帽に限ることを証明した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超曲面に対する変分問題の解の大域的性質、安定性、解空間の構造の解明に関する二件の重要な研究成果をあげることができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
１．3次元ユークリッド空間内の三重周期極小曲面について、既知の族からの分岐の存在を証明したので、これにより得られる新しい曲面の表示式を得、さらに安定性の解析を行う。
２．今年度は、互いに平行でない二超平面に自由境界を持ちこれらの超平面が囲む閉領域内にある平均曲率一定超曲面について、付加的仮定のもとで安定解を決定した。この付加的仮定を取り除きより一般的な結果を得、さらに、物理現象への応用を検討する。
３．非等方的平均曲率一定曲面に対する表現公式及び特異点についての研究を行い、これを応用することにより、ローレンツ・ミンコフスキー空間内の空間的及び時間的平均曲率一定曲面の統一的な研究を進める。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
3月に行った海外出張旅費について、校費から援助があったため。
国内外での研究成果発表及び共同研究のための旅費に使用する予定である。
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