2016 Fiscal Year Annual Research Report
New methods on geometric analysis of variational problems for surfaces
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25287012
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
小磯 深幸 九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (10178189)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
庄田 敏宏 佐賀大学, 教育学部, 准教授 (10432957)
川上 裕 金沢大学, 数物科学系, 准教授 (60532356)
小野寺 有紹 東京工業大学, 理学院, 准教授 (70614999)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 平均曲率 / 曲面の安定性 / 非等方的曲面エネルギー / 極小曲面 / ガウス写像 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
シャボン玉の表面の数学的抽象化と言える数学概念として平均曲率一定曲面（CMC曲面）がある．CMC曲面は，境界を保ち囲む体積を変えない変分（許容変分と呼ぶ）に対する面積の臨界点である．CMC曲面は，任意の許容変分に対して面積の極小値をとる時，安定であると言われる．CMC曲面の安定性を研究することは，理論・応用の両面において重要である．許容変分に対する第二変分が常に正となるCMC曲面は面積極小であり，第二変分が負となる許容変分が存在する時は面積極小ではない．従来，許容変分に対する第二変分が常に非負であり，かつ，第二変分が0となる許容変分が存在するという特異状態についての研究はほとんどなされてこなかった．本研究では，このような特異状態も含め，CMC曲面の安定性についての精密な判定条件を求めた．さらに，特異状態に対して面積の第三及び第四変分を求め，具体例についてそれらの正負を判定することにより，CMC曲面の安定性の判定には第二変分までの正負を判定するだけでは不十分であり特異状態の研究が重要であることを示した．なお，これらの結果は，非等方的曲面エネルギー汎関数の臨界点に対しても一般化可能である．（以上は，研究代表者・小磯深幸とBennett Palmer氏（アイダホ州立大学，米国）との共同研究である．）
さて，面積の平衡曲面は極小曲面と呼ばれ，石鹸膜の数理モデルとして用いられる．極小曲面のエネルギー極小性の研究に有用な概念の一つとして，ガウス写像がある．これは曲面の法線方向を表す写像である．川上裕は，Pham Hoang Ha氏（国立ハノイ教育大学，ベトナム）との共同研究により，4次元ユークリッド空間内の極小曲面のガウス写像の自由度についての重要な結果を得た．即ち，二つの完備極小曲面について，それらのガウス写像が7点を共有すれば，これらは完全に一致してしまうということを証明した．
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| Research Progress Status |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Causes of Carryover |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
28年度が最終年度であるため、記入しない。
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