2014 Fiscal Year Annual Research Report
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25287014
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
村上 順 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (90157751)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
水澤 篤彦 早稲田大学, 理工学術院, 助教 (50707726)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 低次元トポロジー / 結び目理論 / 量子群 / 双曲幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究では、SL_2 に対応する量子群で量子化のパラメータ q を１の冪根にした場合の表現，特に半単純でない表現に対応する結び目や３次元多様体の量子不変量の構成とその性質，及び幾何構造との対応について研究することを目的としている．この中で，結び目や絡み目に対しては、半単純でない表現に対応する不変量を構成することができ，これらの不変量のある種の極限としてこれらの結び目や絡み目の補空間の双曲体積が得られることを具体的な例について見ることができた．
また，表現のパラメータに対応して，補空間だけでなく，結び目や絡み目に沿った特異点を持つ錘多様体の双曲体積との関係についてもある程度明らかにすることができた．
次の目標として，結び目や絡み目の補空間とは異なる３次元多様体について量子群の半単純でない表現に対応する不変量の構成を目指している．閉多様体に対して拡張することは大変難しいことがこれまでの研究でわかってきているのだが，境界のある多様体に対してはこのような不変量が定義できることが期待でき，空間グラフの補空間や，ハンドル体結び目の補空間，また，種数２以上の測地的な曲面を境界とする双曲多様体に対して，半単純でない表現に対応する不変量の構成を試みた．ここでは、Costantino と代表者による量子不変量の構成法や，分担者の水澤によるハンドル体結び目の量子不変量の構成法を参考にすることで，量子 6j-記号と呼ばれるものに注目して，不変量の構成とその性質の研究を進めており，少しずつ双曲構造との対応などが明らかになってきている．
また，位相的量子場の理論の構成についても，適切な正規化の方法について研究を進めている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究では、SL_2 に対応する量子群で量子化のパラメータ q を１の冪根にした場合の表現，特に半単純でない表現に対応する結び目や３次元多様体の量子不変量の構成とその性質，及び幾何構造との対応について研究することを目的としている．
結び目や絡み目に対しては不変量の構成，及びその双曲構造との対応については，概ね当初の目的としていた成果を得ることができている．
現在は引き続き結び目や絡み目の補空間とは異なる３次元多様体に対する，半単純でない表現に対応する不変量の構成を目指しているところであり，これについても Costantino と代表者による量子不変量の構成法や，分担者の水澤によるハンドル体結び目の量子不変量の構成法をもとに、量子 6j-記号に注目することでどのように構成するかの目処はついてきており，多様な３次元多様体に対する不変量の構成に関して，当初の予定どおり順調に進んでいる．
最終的な目標としては，３次元の閉多様体に対してもこのような不変量を構成し体のであるが，これについては，現在のところ悲観的である．そのかわりに現在は３次元tの位相的量子場の理論の構成を目指している．これについては，発散の問題があって通常の量子不変量と同じように構成することはできていないが、適切な正規化を行うことで数学的に厳密な構成ができるものと期待し，現在研究を進めているところであり，１、２年後には完成することができるのではないかと考えている．
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| Strategy for Future Research Activity |
SL_2 に対応する量子群で量子化のパラメータ q を１の冪根にした場合の表現，特に半単純でない表現に対応する結び目や３次元多様体の量子不変量の構成とその性質，及び幾何構造との対応について研究することを目的としているのであるが、結び目や絡み目に対しては，不変量の構成やその双曲構造との対応については、概ね当初の計画に沿った成果を得ることができたので，今後はもっと一般の３次元多様体について同様の不変量の構成と，その双曲構造との対応について研究を進めていく．
具体的な多様体としては，空間グラフの補空間，ハンドル体結び目の補空間，それに種数２以上の曲面を境界とする３次元多様体について研究を行う．
用いる手法は，これまで同様，量子 R 行列を中心として不変量を構成していくのであるが，これに加えて，量子 6j-記号と呼ばれるものにも注目し，この 6j-記号と双曲四面体との対応を生かして，量子不変量と双曲構造の関係について調べていく．
さらに，２次元ー３次元の位相的量子場の理論の構成を，適切な正規化の手法を導入することで、数学的に厳密に行う．
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| Causes of Carryover |
年度末に近い海外出張の際の現地交通費代として用意した分が実際には必要なかったためその分が残った．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
本年度の研究費に加えて、旅費として使用する．
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