2013 Fiscal Year Annual Research Report
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25287015
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
相川 弘明 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (20137889)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
志賀 啓成 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (10154189)
須川 敏幸 東北大学, 情報科学研究科, 教授 (30235858)
木上 淳 京都大学, 情報学研究科, 教授 (90202035)
加須栄 篤 金沢大学, 数物科学系, 教授 (40152657)
平田 賢太郎 広島大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (30399795)
利根川 吉廣 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (80296748)
川上 裕 山口大学, 理工学研究科, 講師 (60532356)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | Harnack不等式 / 除去可能特異点 / 平均曲率流 / 非線形ネットワーク / Sierpinski carpet / 擬等角変形空間 / ガウス写像 / 熱半群 |
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| Research Abstract |
一般領域のDirichlet最小固有値を容量的幅を用いて評価した．熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivityを容量的幅とGreen関数により導いた．熱方程式や吸収項をもつ半線形熱方程式の解の除去可能な特異点について考察した．特に，放物型距離に関するMinkowski容量を導入して増大条件や可積分条件を満たす解に対する除去可能集合を調べた．
Klein群の擬等角変形空間の複素構造について研究を行ない，Klein群の不連続成分の形状がその変形空間の構造に大きく影響を与え，様々な複素解析的性質，例えば正則凸性などが変化することを発見した．また，コーシー積分の境界値に関しても新たな知見を得た．
Sierpinski carpet 上の Brownian motion の time change について考察し，speed 測度がユークリッドの距離に対して volume doubling property を持つときには，ユークリッドの距離と quasisymmetric な距離が存在して time changed process の熱核はその距離に関して sub-Gaussian 型の評価を持つことを示した．
Brakkeの定義した幾何学的測度論の枠組みにおける平均曲率流に関連し，境界で直交条件を満たしつつ動く平均曲率流のBrakke解の構成を，Allen-Cahn方程式の特異摂動を用いて行った．また1次元のBrakke解で典型的な3重点周りの正則性定理を証明した．
Modular sequence spaces をモデルにした非線形ネットワーク上のポテンシャル論を展開し，フローに関するトムソンの原理，射に関するレイリー単調性法則，倉持境界とディリクレ問題などについて研究した．複素平面上の非定数有理型関数の除外値数の上限である「２」の幾何学的意味は，その値域であるリーマン球面のオイラー数であることが知られている．この結果に対応するものとして，完備極小曲面のガウス写像や弱完備な平坦波面の標準形式などを含んだ曲面のクラスにおけるガウス写像の除外値数の上限の幾何学的意味を明らかにした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
除外集合を許したHarnack不等式と箱議論を組み合わせることにより，熱半群に対するIntrinsic Ultracontractivityに対する新しいアプローチを見つけたこと．放物型距離に関するMinkowski容量を導入して除去可能性の範囲を広げたこと．平均曲率流にAllen-Cahn方程式の特異摂動を応用したこと．Klein群の不連続成分の形状が変形空間の構造に大きな影響を与えることを見つけたこと．非定数有理型関数の除外値数の上限値「2」の幾何学的意味を明らかにしたこと．
以上のような数学的研究成果を研究論文12編に著し，国内外の研究集会における23件の招待講演で研究発表を行った．成果発表の場は解析学，幾何学，確率論にまたがっており，研究グループとして幅広い活動を活発に行うことができた．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究代表者，研究分担者によりそれぞれの研究の深化を計る．研究集会を主催，研究者の招聘をして研究成果を広く公表する．それらから得られる反応を研究課題にフィードバックして新しい展開を見いだす．研究分担者，協力者で相互訪問し，連携を緊密にする．とくに若手研究者からのフレッシュな視点を大切にするため，新たな研究分担者を加える．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
研究者招聘のタイミングがずれたため．
韓国におけるICMのサテライト集会に参加および招聘を行う．
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