2016 Fiscal Year Annual Research Report
Research on comlex dynamical systems and C*-algebras
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25287019
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
綿谷 安男 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (00175077)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
幸崎 秀樹 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 学術研究者 (20186612)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | C*－環 / 複素力学系 / 自己相似写像 / 極大可換環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
記号力学系と複素力学系と自己相似写像の類似を考えながら研究してきた。マルコフシフトのような記号力学系では次元群のような不変量が分類に重要な役割を果たしてきた。この次元群は実はマルコフシフトから作られるC*-環のコアのK０群と解釈できる。その類似として複素力学系や自己相似写像から作られるC*-環のコアのK群を調べることが重要と思われる。コアはゲージ作用の固定環と思っていいのでこの類似は成立している。自己相似写像の場合はコアのK０群だけでなく、K１群も出てくるの新しい現象も付き添いながら類似が成立するかを探求した。今年度の成果としてはテント写像の場合に作られるC*-環のコアのK群を帰納的極限で書くための埋め込みの行列を決定した。同様なことをシェルピンスキーギャスケットの場合にも試みて、コアのK群を帰納的極限で書くための埋め込みの行列を決定した。これは表現がさらに複雑になった。また次元群の準同型写像を調べた。すると、記号力学系のときと違い次元群の同型写像は準同型写像にしかならず、テント写像の場合は、実際にontoになっていないことがわかった。さらにコアのトレースの構造やイデアルの構造についても継続して研究した。マルコフシフトから作られるC*-環の場合はマルコフシフトに付随する無限パスの作る空間上の連続関数環が全体のCuntz-Krieger環の極大可換環になっていた。今年度は複素力学系と自己相似写像から生成されるC*-環の場合にも、ジュリア集合や自己相似集合上の連続関数環が全体のC*-環の中でやはり、極大可換環になっていることがわかった。証明は非常に技術的であった。テント写像の直積を考えて分岐が有限集合の点ではなくなる場合の研究を開始した。また、私たちの構成したC*-環とNekrashevychの「自己相似群」を使って構成したC*-環の関係を継続して研究しているが難しかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
記号力学系と複素力学系と自己相似写像の類似を考えながら研究してきて、これがかなりの成功を収めている。マルコフシフトのような記号力学系では次元群のような不変量が分類に重要な役割を果たしてきた。その類似として複素力学系や自己相似写像から作られるC*-環のコアのK群を調べて、今年度の成果としてはテント写像の場合に作られるC*-環のコアのK群を帰納的極限で書くための埋め込みの行列を決定した。同様なことをシェルピンスキーギャスケットの場合にも試みて、コアのK群を帰納的極限で書くための埋め込みの行列を決定した。これらは、いままで複雑でなかなか手につかなかったものであり、この研究成果は大きい。また次元群の準同型写像を調べたところ記号力学系のときと違い次元群の同型写像は準同型写像にしかならず、テント写像の場合は、実際にontoになっていないことがわかるという、予想外の結論を得ることができたのも、大きな成果であった。さらにコアのトレースの構造やイデアルの構造についても継続して研究したが、これはまだまだ、完成するところには、いたっていない。特に、ファトウ集合上での研究が難航してあまり進まなかった。マルコフシフトから作られるC*-環の場合はマルコフシフトに付随する無限パスの作る空間上の連続関数環が全体のCuntz-Krieger環の極大可換環になっていたが、今年度は複素力学系と自己相似写像から生成されるC*-環の場合にも、ジュリア集合や自己相似集合上の連続関数環が全体のC*-環の中でやはり、極大可換環になっていることがわかり、これから軌道同型との関連を研究するうえでの最初の１歩になるようなうれしい結果も得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
複素力学系でのファトウ集合上での研究を推進して、生成されるC*－環上のコアのイデアルやとトレースの構造の解明に力をいれたい。マルコフシフトのような記号力学系では、マルコフシフトに付随する無限パスの作る空間上の連続関数環をCuntz-Krieger環と組にしてその両方を保存する同型写像と力学系の軌道同型との美しい関連を示す定理が成立している。そこでこのような記号力学系の軌道同型の話は複素力学系と自己相似写像の場合に何らかの形で成立すると思われるので、その定式化を研究したい。また、私たちの構成したC*-環とNekrashevychの「自己相似群」を使って構成したC*-環の関係を継続して研究してみたい。
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| Causes of Carryover |
大学内の委員としての仕事のため、連携研究者との共同研究をおこなうために予定していた国内出張を一部とりやめたから。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
連携研究者との共同研究をおこなうため、連携研究者のいる大学への国内出張の費用として使用する計画である。
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Research Products
(3 results)
