2013 Fiscal Year Annual Research Report
複素エノン写像の力学系：相空間からパラメータ空間へ
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25287020
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Grant-in-Aid for Scientific Research (B)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
石井 豊 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20304727)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
浅岡 正幸 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10314832)
荒井 迅 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362432)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 複素ヘノン写像 / ハバード木 / 反復モノドロミー群 / ホースシュー |
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| Research Abstract |
平成２５年度の計画目標は、課題 (i) ハバード木に対するシフト・ホモトピー同値性と位相共役不変量の構成、(ii) 反復モノドロミー群作用の固定点集合とホースシュー・モノドロミーの固定点集合との対応付け、の２つがあった。
まず一つ目の課題については京都大学の浅岡氏と研究を進め、ハバード木に対する片側無限の軌道空間についてシフト・ホモトピー同値性と位相共役性についての結果を得た。ただしこれだけではハバード木に対する両側無限の軌道空間についての情報を引き出すことが出来ず、またホモロジーなどのような計算可能な位相共役不変量は定義出来ない。これらの困難の解決は次年度の中心的課題となるであろう。
また二つ目の課題については、北海道大学の荒井氏、ゲッチンゲン大学の Laurent Bartholdi 氏、Dzmitry Dudko 氏らとともに、反復モノドロミー群作用の固定点集合とホースシュー・モノドロミーの固定点集合との対応付けについて、幾つかの予想を立てた。特に手始めとして、その予想を１次元複素力学系に退化させた場合について議論を行い、マンデルブロー集合の組み合わせ論的性質とモノドロミー作用との対応付けを行った。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
まず一つ目の課題については、両側無限の軌道空間の場合についての結果が得られていない点、またホモロジーなどのような計算可能な位相共役不変量が定義出来ていない点が予定より遅れている。また二つ目の課題については、反復モノドロミー群作用の固定点集合とホースシュー・モノドロミーの固定点集合との対応付けについて、幾つかの精密な予想を立てられたのは当初の計画以上の進展であった。以上の点を総合的に勘案すると、全体としては研究はおおむね順調に進展していると見ることができるであろう。
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| Strategy for Future Research Activity |
ハバード木の不変量の問題については、これは分岐多様体上の拡大写像の力学系とのアナロジーが見られる。そこで、その分野の専門家と議論を行う機会を見付け、計算可能な位相共役不変量の構成に向かいたい。
またホースシュー領域のモノドロミー群作用の問題については、まず１次元に退化した場合をテストケースとして証明したい。その際にはマンデルブロー集合の組み合わせ論的な性質が鍵になることは間違いないので、この分野の専門家から情報収集をはかりたい。また平行して一般の場合に関する証明のアイデアを見付けるために、ホースシュー・モノドロミー群作用についての数値実験を進める。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
この次年度使用額は北海道大学の荒井氏と京都大学の浅岡氏の分担金の一部である。その理由は、予定していた九州大学への国内出張が日程調整などの都合のために不可能になったからである。
この残金は新年度に、当初予定していた九州大学への国内出張のために用いる。その際に、複素ヘノン写像族のホースシュー・モノドロミー作用の問題について全員で討論を行う予定である。
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