2016 Fiscal Year Annual Research Report
複素エノン写像の力学系：相空間からパラメータ空間へ
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25287020
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
石井 豊 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (20304727)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
浅岡 正幸 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (10314832)
荒井 迅 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (80362432)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | ヘノン写像 / モノドロミー作用 / ジュリア集合 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
今年度は前年度に引き続き、複素ヘノン写像族のホースシュー領域について研究した。
まず、Chris Lipa が提唱したホースシュー領域のモノドロミー作用について、その数学的な定式化について考察した。その際の第一歩となるのは、herd と呼ばれるパラメータ空間内の部分集合を厳密に定義する必要があった。そのために、まずヘノン写像が実面でホースシューになる場合に着目し、その primal critical points に対して自然な記号力学系を導入し、それを延長することで critical poins のラベル付けを行った。この方法では全てのパラメータに対しては critical points のラベル付けは出来ないが、パラメータ空間内の比較的大きな部分領域に対しては有効であると思われる。このラベル付けを用いて、herd の厳密な形式化を行った。
また、Lipa の予想そのものを証明することは現段階では困難なため、まずはヘノン写像が退化した場合にあたる１変数の場合について考察を進め、予想を定式化した。そしてモノドロミー作用の固定点集合についての Lipa の予想が成り立つことを、Douady-Hubbard 理論を援用して幾つかの例に対して確認した。今後はこの事実を一般の拡大的な二次多項式に対して拡張することが望まれる。
荒井迅氏（北海道大学）と共同で実ヘノン写像族のホースシュー領域に関する研究を完了し、その論文執筆を進めた。また、荒井迅氏（北海道大学）、高橋博樹氏（慶応大学）と共同で、上述の手法を応用することでヘノン写像の不変測度の変分原理的特徴付けに成功した。この証明は精度保証計算の部分を含んでおり、今年度はその計算の確認作業を進め、同時に論文の執筆を開始した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モノドロミー作用の研究については一定の進捗が得られた。その一方で、ハバード木の不変量を考察する課題については、進捗が無かった。
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| Strategy for Future Research Activity |
ホースシュー領域の研究については、まず荒井氏・高橋氏との共同研究を完成させたい。
また、ハバード木の不変量については、グラフ理論のとある事実が有効かもしれないことに気付いたので、この点を追求する。これは Stalling fold と呼ばれるもので、二つのグラフの間に写像があったとき、それが局所単射になるようにグラフを変形する操作のことである。現在までの我々の研究で最大の障害になっていたのは、キャノニカルなハバード木の定義がヘノン写像の場合には得られていなかったことにある。そこで、この Stalling fold の理論を用いることで、ハバード木の「標準形」を定めることが出来るのではないか、またそれを通して適切な不変量が定義出来るのではないかと期待している。
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| Causes of Carryover |
共著論文執筆のために荒井氏を訪問する予定であったが、先方が多忙なため、出張の予定が今年度中に入れられなかった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
荒井氏の所属先に出張するための国内旅費として使用する。
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