2014 Fiscal Year Annual Research Report
非線形分散型波動方程式の特異性の幾何学的構造と大域可解性の研究
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25287022
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
高岡 秀夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10322794)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 分散型方程式 / 初期値問題 / 適切性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，昨年度に続き球面上における３次のべき乗非線形型の非線形シュレディンガー方程式について，初期値問題の適切性が臨界として成立する初期値空間を研究した．ソボレフ空間をベースとした適切性について，微分指数が１／４よりも滑らかなデータの場合は肯定的な結果が示されており，他方で滑らかでない場合は否定的な結果が示されている．微分指数１／４は適切性を捉えうる臨界指数であるが，その状況下で何も分かって居なかった．本年度は昨年度の考察を踏まえ，研究を修正することを行い，臨界指数を微分指数として持つ（２，１）型のベゾフ空間に変調構造を取り入れた関数空間の初期値に対して解の存在定理を与えた．滑らかさが弱い関数空間において，非線形相互作用による特異性をうまく統御することが問題であるが，非線形相互作用のメカニズムの解析はエネルギー法を用い，特異性を考察する解析は非線形項の振動形態を共鳴する解の波長を制御する方法をとった．さらに，エネルギー法と共鳴解析による証明法を発展させ，微分指数が３／４よりも滑らかなソボレフ空間における初期値問題について，付加条件下における既存の一意可解性定理を，無条件一意可解性に場合に証明することに成功した．得られた結果は論文「Local well-posedness of the nonlinear Schrodinger equations on the sphere for data in modulation spaces」としてまとめ，学術雑誌に投稿した．
一方で、微分指数１／４を持つソボレフ空間，およびベゾフ空間における適切性の問題は解決することができず，今後の解決すべき課題とした．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
検討すべき課題は，ソボレフ空間における臨界条件下の適切性であった．評価式の成否の構造に関する解析が進まず，べゾフ型空間における解析に至った．連携研究者を含めた，広範囲の研究者と議論が進まなかった．
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| Strategy for Future Research Activity |
臨界微分指数における双線形，あるいは３重線形評価式について，それらの成否を明確にする必要がある．特殊関数によるフーリエ展開，フーリエ制限法といった調和解析的手法を取り入れ，精密な解析を行う．連携研究者，および海外の専門家との議論を活発に行う．
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| Causes of Carryover |
年度末の出張の際に天候による影響から旅程を短縮した．その返金により繰り越しが発生した．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度の旅費の一部として使用する予定である．
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Research Products
(4 results)
