2016 Fiscal Year Annual Research Report
非線形分散型波動方程式の特異性の幾何学的構造と大域可解性の研究
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25287022
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
高岡 秀夫 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10322794)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 非線形分散型 / 初期値問題 / 適切性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度は非線形項に空間微分の作用を含む微分型非線形シュレディンガー方程式をモデルとした，周期境界値条件の問題に対する非線形相互作用の特異性に関する研究を非線形共鳴場によるエネルギー転換を調べることによって考察した．本年度は，空間１次元で５次の非線形項を持つ非線形シュレディンガー方程式に対し，周期の大きさをパラメータとして，マスエネルギーの転換に観点を置いて非線形相互作用による解のダイナミクスを研究した．これら２つの方程式は，方程式の時空間変数の尺度に関するスケール変換に対してマスエネルギー空間が不変であり，そのエネルギー転換を調べることは重要である．空間１次元で３次の非線形項をもつ非線形シュレディンガーは可積分系モデルであり，解の定性的性質，特に無限個のアプリオリ評価式から時間大域的な解の評価式が得られる．５次の非線形項に対して，Grebert-Thomannらによって考察された４モードからなる有限次元モデルを，空間変数の周期の大きさのパラメータに応じて多重モードから成る有限次元モデルに拡張し，時間周期的なマスエネルギーの転換現象を主要部に持つ解を構成することに成功した．解を近似する有限次元モデルをフーリエ成分に関する非線形共鳴を考察することにより導出し，エネルギー法により，本来の解との近似評価式を証明した．近似定理の精度については改良の余地があり，今後の課題とした．得られた結果はプレプリント「Energy transfer model and large periodic boundary value problem for the quintic nonlinear Schrodinger equation」としてまとめている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
周期の大きさをパラメータとして，マスエネルギーの転換を示す主要部の時間周期のオーダーと，誤差項の評価式に対する時間オーダーには隔たりがあり，誤差評価の制度は十分とは言い難く，結果の改良の必然性がある．
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| Strategy for Future Research Activity |
近似評価式をエネルギー法によって証明したが，より精密に行うにはnormal formによる手法を取り入れることも検討しなければならない．修正KdV方程式で培ったこの方向性に関する方法を取り入れる．
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Research Products
(7 results)
