2014 Fiscal Year Annual Research Report
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25287025
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 変分問題 / 非線形楕円型方程式 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形楕円型方程式に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 昨年度まで非線形シュレディンガー方程式に対して開発してきた凝集解の構成法をさらに発展, 拡張し, アブストラクトなフレームワークの構築に成功した. 特に, 柱状領域における特異摂動問題, シュレディンガー方程式系への応用が可能となった. 現在までのところ極大点, 鞍点における 1 ピーク解の存在が非常に一般的な設定の下で示されている. 多重ピーク解の存在証明はこれからの課題である. 特異摂動問題に関する他の結果としては, S. Cingolani 氏, L. Jeanjean 氏と共に非線形シュレディンガー方程式に対して, ポテンシャルウェル内に凝集する解の多重性の研究を行っている. また C.-N. Chen 氏と共にフィッツナグモ方程式に対する既存の存在結果の改良にも成功している.
変分構造をもたない方程式に関しては臨界成長度をもつ勾配項を伴う非線形楕円型方程式を扱い D. Arcoya 氏, C. De Coster 氏, L. Jeanjean 氏と共に分岐構造を解明することに成功した.
また研究分担者小澤は非線形楕円型方程式と深く関連するヤング, ヘルダーの不等式の安定性およびハーディ型不等式の研究を行うと共にフラクショナルラプラシアンをもつシュレディンガー方程式の軌道安定性の研究を行った. また大谷は多価準線形方程式に関する存在結果を得た. さらに, 連携研究者佐藤は Z.-Q. Wang と共に非線形シュレディンガー方程式系の最小エネルギー解をいろいろな状況下で研究を行い, そのプロファイルを見いだすことに成功した. また足達は準線形楕円型方程式に対する球対称解の一意性, 非退化性を示すことに成功した. また塩路はへノン方程式の非球対称解の多重存在を示すことに成功している.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
計画通りに特異摂動問題の研究は進展している. 特に J. Byeon 氏と共に開発した変分的アプローチをアブストラクトなフレームワークにまで発展させることができ, 柱状領域における非線形楕円型方程式等への応用が可能となった. 他の方程式系等への応用等の今後の発展も見込まれる.
また変分構造をもたない問題に関しても臨界成長度をもつ勾配項を伴う方程式に対して分岐構造を見いだす等, 当初予定していた以上の進展があった.
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| Strategy for Future Research Activity |
特異摂動問題を中心に研究を進める. 特に変分的アプローチによる凝集解の構成法のアブストラクトフレームワークをより洗練されたものとすることを目指す. その際, clustering peak をもつ解の構成をも行いたい. また Choquard 方程式系等の非線形楕円型方程式系への応用を目指す.
数理物理モデル等に現れる非線形楕円型方程式系に関しては strongly indefinite な汎関数を用いて定式化される場合を重視し解析を行うと共に, 軌道安定性等の発展問題としての見地からの研究も行う.
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| Causes of Carryover |
海外の研究者の招聘を計画したが, 先方の事情によりキャンセルされた場合があった.
また本年度, 研究は当初の計画よりも順調に進み理論的な発展が大きく, その進展により当初見込まれていた数値解析的な補助はあまり行う必要がなく, ソフトウェアの購入等をさほど行わなかった.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
27 年度においては変分問題におけるリーダーの一人である A. Malchiodi 氏を招聘し共同研究を行う. また Besancon および Brussels における国際研究集会に連携研究者と共に参加することを計画している. その際の旅費として使用する計画である. また研究テーマのひとつとして不安定解の構成を数値解析による解析を加える予定である. そのためのソフトウェアを購入する計画である.
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Research Products
(37 results)
