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25287025
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
田中 和永 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20188288)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
山田 義雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (20111825)
大谷 光春 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (30119656)
小澤 徹 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70204196)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 解析学 / 変分問題 / 非線形楕円形方程式 / 特異摂動問題 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
非線形楕円形方程式に対する特異摂動問題を中心に研究を実施した. 今までに開発してきた非線形シュレディンガー方程式に対する凝集解の構成法のさらなる発展, 拡張がすすんでおり, 従来要求されていいた極限方程式に対する強いコンパクト性の条件なしに解の構成が可能となった. また, 変分法において重要な役割をはたす変形理論を新たに見直し, 一種のプロダクト空間上で展開することにより, 応用の幅がさらに広がりつつある.
磁場を伴うシュレディンガー方程式に対する凝聚解の多重性の研究に加え, 対数的非線形性をもつ非線形シュレディンガー方程式のマルチピーク解の構成を行った. この問題では, 非線形項のもつ特異性のためソボレフ空間 H1 上対応する汎関数が well-defined にならない等の困難をもち, いわゆる non-smooth 変分法によりアプローチがなされることが多いが, ここでは空間周期的な問題で近似することを考え,ミニマックス法を開発適用することにより, 解の構成に成功した.また臨界点理論における重要なトピックのひとつである Clark の定理に関して, その臨界点集合の構造について従来の結果を改良することにも成功した.
なお, 研究分担者小澤はシャープな剰余項を伴うハーディ型不等式を見出す等の成果を上げ, 連携研究者足達は準線形楕円形方程式のグラウンドステートの一意性の証明を非常に一般的な設定のもと行った. また佐藤は非線形シュレディンガー方程式系を扱い, 様々なパターンの解の構成に成功した.また塩路は球対称解の一意性, 非退化性を非常に一般的な条件の下で示すことに成功した. また生駒はフラクショナルラプラシアンを伴うスカラーフィールド方程式の解の存在を証明し, 更に Willmore 曲面の研究を存在を示すことに成功した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ほぼ計画どおりに研究は進展しており, 磁場を伴う非線形シュレディンガー方程式等への応用も可能となった. また Clark の定理に関する臨界点集合の構造について従来の結果を改良することにも成功する等予期せぬ進展もあった.
プロダクト空間をもちいた変形理論の整備も順調に進んでおり, ポテンシャルの極大点でのマルチピーク凝聚解の存在問題等への適用, 更には非局所問題等 (Choquard 方程式, フラクショナルラプラシアンを伴う方程式等) への応用が期待される.
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| Strategy for Future Research Activity |
特異摂動問題の研究を中心に進める. 特異摂動問題に特化されたプロダクト空間をもちいた変形理論の整備を完成させ, 凝聚解の存在メカニズムを明確にするとともにそのさらなる応用を試みる. 特にいまだ未解明の多重ピーク解の存在問題, 非局所楕円形問題 (Choquard 方程式, フラクショナルラプラシアンを伴う非線形楕円形方程式), および非線形楕円形方程式系への応用を目指す. また, 古くからよく研究されているにもかかわらず従来の方法ではアプローチできなかった p-Laplace 方程式に対する特異摂動問題にも取り組みたいと考えている.
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| Causes of Carryover |
体調不良により海外での研究会への参加を断念したことがあった. また海外の研究者の訪問期間が先方の事情により短くなる場合があった. また, 研究の進展が理論を中心に進んでいるため, 当初の予定ほど数値実験の必要性がなく, そのため PC, ソフトウエアの購入は少なかった.
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
研究代表者, 分担者, 連携研究者を中心とする研究会を開催する予定である. また Cingolani 氏との共同研究も続行し, 招聘あるいは訪問を行う予定である.
なお, メキシコにおける国際研究集会 Third Congress of the PRIMA, the Pacific Rim Mathematical Association に参加, その special sesssion で招待講演を行う予定である.
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