2014 Fiscal Year Annual Research Report
離散関数解析と変分理論からなる差分法の基礎理論構築
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25287030
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 准教授 (80242014)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松尾 宇泰 東京大学, 情報理工学(系)研究科, 教授 (90293670)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 構造保存数値解法 / 偏微分方程式 / 差分法 / 変分理論 / 離散変分導関数法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本計画の第二年度は研究計画書に記載したいくつかの目的にそって研究を推進した．
まず最初の主たる目的は、一次元領域空間に限定して離散ノルムとそれによって自然に導出される離散関数空間、例えば離散ルベーグ空間や離散ヒルベルト空間、離散ソボレフ空間の定義を与えてその数学的な性質を調べることである．それらの離散関数空間の上で成り立つコーシー-シュワルツ不等式やソボレフ不等式などの微積分不等式の離散化を行うこと、部分積分などの変分理論の計算基盤を離散化すること、そしてさらにこれらを介して積分汎関数や変分導関数などの主な概念を離散化することが次の目的である．
これらについて本計画研究者二人は研究を進め、基本的な差分作用素が構成する離散関数空間において、ある中心差分作用素の族に対して作用素同士を変換する差分変換行列の概念にいたり、この概念に基いてある一定の範囲で、一般的な微積分不等式の性質が統一的に証明できること、そしてさらにそれらを成立させる数学的条件などについて研究を進めた．現時点では証明に用いた数学的な制約のためにこの一般性がある程度限定されているが、われわれはこの性質がより広い関数空間で成り立つことを予測しており、この点について計算機の支援的な数値実験によって確認をとろうと準備を進めている．
そして予定通り、構造保存解法に対する研究交流のために数値解法の専門家が集まる研究集会 KCNADE (Kyoto Conference on Numerical Analysis and Differential Equations) を主催し、国内外から多くの専門家を招待、講演をしてもらうとともに自分らも研究発表を行い、研究交流をすすめた．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究実績の項目で述べたように、研究成果については独自の内容で当初の研究計画以上の成果を得ている部分もある状態で、全体としてはほぼ当初計画に沿った進展が見られると考えられる．そして、主たる国外招聘研究者の都合で初年度から第二年度、つまり平成26年度、へ予定を変更した国際研究集会を構造保存解法に対する研究交流のために数値解法の専門家が集まる研究集会 KCNADE (Kyoto Conference on Numerical Analysis and Differential Equations) として平成26年の夏に無事に主催、運営し、国内外から多くの専門家を招待、講演をしてもらうとともに自分らも研究発表を行い研究交流をすすめることも出来た．
これらにより本研究の研究成果、実績について当初の計画からの大きなずれは無くなっており、本達成度としてみずから評価するものである．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成27年度以降は以下の計画を主に行う．まず，計画初年度の調査と研究の結果をさらにすすめる．特に、離散ヒルベルト空間などに比して、離散ソボレフ空間の性質は離散化の手法によって連続ソボレフ空間のそれから失われてしまうことが多く、これによって目的とする微積分不等式が成立するための数学的制約が厳しくなることに反映されるため、この点を中心にして丁寧に研究をすすめる．これについては差分変換行列にもとづいて一定の理論的な予測が可能であると考えているため、研究はこの方向に沿って行うことになるだろう．また、連続な変分理論は極限概念に基づく概念であるが離散系では極限という概念を利用できないため、極限概念なしで厳密な等号の成立をさせることで数学的な曖昧さを排除する．しかし極限に基づかずに厳密に等号を成立させることは本来の連続系よりも数学的には厳しい要請であるため、これが数学的に自然な離散系の定義の障害となっている可能性がある．この点についてはなんらかのブレークスルーが必要であり、われわれの挑戦的な課題として取り組む．
そしてさらに、三次元、四次元など、領域の次元を高くしての研究にも取り組む．もちろん次元数が上がるにつれて微積分局所則の離散的な数学的な実現、すなわち、証明を付しての提案が困難になることからこれは大きな挑戦課題になると思われる．これらの実現を通じて局所則を確立し、それに基づいた計算を通じて変分原理の離散化を狙いたい．
そして、初年度、第二年度と同様に積極的に国際研究集会などに参加、講演を行い、これらを通じて他の専門家と知見の交換をはかる．具体的には平成27年には数値計算等における応用数学者の集まる国際研究集会SciCADE がドイツで，より大規模な国際研究集会 ICIAM が中国で開催されるため、これらに参加して講演を行うものとする．
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| Causes of Carryover |
初年度に主催、運営を予定していた国際研究集会 KCNADE の予定が主たる招聘研究者らの都合により第二年度、すなわち平成26年度にずれ込んだため、それをうけて第二年度に購入予定であったワークステーションの購入を第三年度に移行したため、おおよそワークステーション一台分程度の次年度使用額が生じることになったものである．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
先に述べた研究実績と推進方策に沿って以下のように使用する計画である．
先も述べたように、数学的な証明で保証される以上に離散的な微積分局所則が一定の範囲で成り立つとわれわれは予測しているが、これをなんらかの形で確認する必要がある．これには数式処理による計算支援と予備数値実験が大変重要であるため、ワークステーションの確保とその上で動作するソフトウェアのライセンス料等に研究費をあてる．また、変分理論については関数解析の専門家や有限要素法の専門家との共同研究が適切であり，このための研究集会開催の費用や旅費等を計上する．またこれも先に述べたように、平成27年には数値計算等における応用数学者の集まる国際研究集会 SciCADE がドイツで，より大規模な国際研究集会 ICIAM が中国で開催されるためこれらに参加、講演を行い、多くの知見を得ることを目的として予算を振り分ける．
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