2017 Fiscal Year Annual Research Report
Construction of fundamental theory of difference method based on discrete function analysis and variational theory
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25287030
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
降籏 大介 大阪大学, サイバーメディアセンター, 教授 (80242014)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
松尾 宇泰 東京大学, 大学院情報理工学系研究科, 教授 (90293670)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 構造保存数値解法 / 偏微分方程式 / 差分法 / 変分理論 / 離散変分導関数法 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本計画の最終年度は研究計画書および交付申請書に記載した目的および実施計画に沿って研究を推進した．まず、第四年度までにおける研究内容を発展させることからはじめ、離散ノルムに基づく離散関数空間において、離散 L2 ノルムに限定したソボレフ次数 p に依存しない結果を整理し拡張した．そして、離散ポアンカレ・ヴィルティンガー不等式などの離散版についても研究を進めた．また、変分理論で用いる主要な概念の離散定義を拡張する研究も推進した．より具体的には、グリーン定理などの基本関係式の離散版に基づき離散変分理論概念を拡張した．これらにより、一次元問題での差分法の数学的理論基盤が築け、離散不等式を介して差分法の性能評価能力と空間離散化の自由度をともに拡張できた．これは、具体的な偏微分方程式、例えばカーン・ヒリアード方程式、非線形シュレディンガー方程式といった問題に適用できる．こうした問題は研究代表者と研究分担者がそれぞれ研究対象としており、分担によりより効率的な研究を推進できた．
そして、これらの理論に基づき定義空間次元を二次元以上に拡張し、差分法のさらなる数学的基盤を定義した．この問題は本質的に困難であったが、空間離散化におけるボロノイ格子は空間離散化の自由度とグリーン関係式のもととなる数学的な性質、空間平滑性、の双方の性質を保持することから、このボロノイ格子を用いてこの目標を達成できた．
また、予定通り偏微分方程式の数値解析を含む応用数学に関する専門家が集まる国際研究集会 SciCADE (International Conference on Scientific Computation and Differential Equations) にて研究発表を行い、研究交流をすすめた．
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| Research Progress Status |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Causes of Carryover |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
29年度が最終年度であるため、記入しない。
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