2014 Fiscal Year Annual Research Report
エンタングルメント・エントロピーを用いたAdS/CFT対応の解析
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25287058
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
高柳 匡 京都大学, 基礎物理学研究所, 教授 (10432353)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 超弦理論 / AdS/CFT対応 / 量子エンタングルメント |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度の研究では、主に局所的な励起状態のエンタングルメント・エントロピーの解析に関する研究を行った。共形場理論を考え、局所的な励起状態をプライマリー場を真空に作用して定義し、レプリカ法を用いてエンタングルメント・エントロピーを場の理論の計算で求めることができる。
まず、AdS/CFT対応に現れるラージN極限の共形場理論に対して、局所的な励起状態のエンタングルメント・エントロピーの解析を行った。自由場のラージN極限の場合に具体的に計算を実行し、レンニエントロピーはO(1)の値になるが、フォンノイマンエントロピーがO(logN）のようにエンハンスされることを見出した。つまりレプリカ数nに対してn=1で相転移のような現象が存在することが分かった。
また、ラージN極限の強結合の共形場理論を場の理論とAdS/CFT対応の双方で計算し、両者が一致することを確かめた。自由場理論では、エントロピーはある有限な量だけ増加することが分かっているが、相互作用の強いホログラフィックな共形場理論では、時刻tとともにlog[t]に比例する形で単調に増加することを明らかにした。
以上は絶対零度の共形場理論を考えていたが、有限温度の場合に、局所的な励起状態を考えるとどのようにエンタングルメント・エントロピーが増加するのか理解することは、AdSブラックホールの物理と関係しており興味深い。この対応関係を詳しく調べ、エンタングルメント・エントロピーは最初はlog[t]のように増加するが、時刻が温度の逆数より大きくなると一定値に近づくことが分かった。
またそのほかの研究成果として、量子状態と時空の曲面の対応関係の理解を深めることができた。これはテンソルネットワークによるAdS/CFTの解釈を発展させたもので、ホログラフィー原理を一般化するアイデアであり、今後の大きな発展が有望である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
前述のようにまず本年度では、前年度にスタートさせた局所的な励起状態のエンタングルメント・エントロピーの計算を様々な共形場理論に関して遂行することができた。また現在雑誌に投稿中のプレプリントarXiv:1412.5606では、励起状態のエンタングルメントエントロピーを空間領域の大きさで二回微分することでエンタングルメントの密度と解釈できる量を抽出できることが分かった。この量は強劣加法性というエンタングルメントの基本的な性質から正であることも分かる。さらに、AdS/CFT対応を適用するとこの量が、重力理論の時空のエネルギー運動量テンソルのヌル成分の積分と解釈することができた。とくに物質場が存在しない３次元重力理論では、このエンタングルメント密度がゼロであることと、真空のアインシュタイン方程式は等価であることを見出した。
このような励起状態に関する研究を当初期待していたが、予想よりも計算が早く進み、
さらに根源的な研究テーマを掘り下げる余裕を得た。量子エンタングルメントのすべての性質を一度に扱う方法としてテンソルネットワークという手法が知られており、AdS/CFT対応との関連も予想されている。プレプリントarXiv:1503.03542と1412.6226ではこの方面の研究を大きく発展される成果を得た。AdS/CFT対応に限らず一般の重力理論に対して、時空を量子エンタングルメントの集合体として表すことができると予想され、そのことから重力理論の時空の任意の凸曲面と量子多体系の量子状態に対応関係が成り立つことが分かった。またそのほかに、超弦理論のエンタングルメントエントロピーの解析arXiv:1412.5606も行った。このように、当初の予想を超え、他の別の興味深い研究成果も本年度に得ることができ、大変有意義であった。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究では、本年度に新たに発見した、重力理論の時空の曲面と量子多体系の量子状態の対応関係に対してより詳しく掘り下げたい。とくに二つの曲面の間の幾何学量と対応する量子状態間の情報理論的距離に関して対応関係が予想されており、場の理論で具体的に距離を計算することでこの関係を確立したい。また、この対応関係では理想的なテンソルネットワークの存在を仮定しており、そのようなネットワークを具体的に構成し、連続極限をとることも大変重要な考察すべき課題である。時空の曲面上の外曲率とテンソルネットワークの振る舞いの間に重要な関係があることが予想されており、具体的な量子多体系の計算を行うことで解析を行いたい。また、重力理論の時空がドジッター時空のように境界を持たない空間の場合は、AdS/CFT対応とは異なりホログラフィー原理の適用法がよくわかっていないので、大変興味深い。我々の新しい対応関係がどのような新しい知見をドジッター時空に対してもたらすのか明らかにしたい。
また、本年度からさらに継続して励起状態のエンタングルメント・エントロピーの解析も行いたい。特に高次元の局所的な励起状態に対しては、知られていることは決して多くなく、たとえばAdS/CFT対応における計算も不十分である。高次元でも２次元の場合のようにlog[t]のように時間とともに増加するのかどうか、微分幾何学的な数値計算を実行することで調べたい。
また運動量テンソルを局所的な演算子と思った時の励起状態を考えると、部分系Aを変形することと等価である。部分系の形を変形した場合のエントロピーの変化はエンタングルメント密度の計算と等価である。AdS/CFT対応の計算結果はすでに得られているので、一致するのかどうか確かめたい。
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| Causes of Carryover |
今年度は１２万円弱ほど助成金が未使用となった。その理由は2015年2月のマドリードで行われた研究会で私が招待講演を行う際に、当初は航空券代を当科研費から支出する予定であったが、その後主催者側から旅費もサポートしたいという申し出があったため、当科研費から航空券代を支出する必要がなくなったからである。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
つい半年前に、東北大で国際研究会``Strings, Black Holes and Quantum Information''を2015年9月に開催することが決まり、私もその世話人の一人として加わることになった。そこで、その研究会の私の旅費として、12万円弱を利用することを計画している。この研究会には、本研究課題に関する外国人著名研究者が複数参加する予定であり、研究代表者の研究成果の宣伝や、参加者との議論を通じで研究内容を掘り下げることに大いに貢献すると期待される。
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Research Products
(14 results)
