2013 Fiscal Year Research-status Report
| Project/Area Number |
25330017
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Research Institution | Nihon University |
|---|
Principal Investigator |
斎藤 明 日本大学, 文理学部, 教授 (90186924)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
|
| Keywords | グラフ / 禁止部分グラフ / 離散数学 / 組合せ論 / スター |
|---|
| Research Abstract |
これまで禁止部分グラフの研究は、研究対象となる個々の性質ごとに進められてきた。本研究は、これら個々の研究の背後に潜む共通原理を明らかにし、禁止部分グラフの研究すべてに資する標準的な手法を開発することを目指している。平成25年度はその第一の目標「禁止部分グラフにおける標準的な手法の開発」に取り組み、これまで代表者が進めてきたハミルトンサイクル、因子、有限集合生成の研究から、共通する要素を取り出すことを目指した。
調べていくと、スターと呼ばれるグラフの振る舞いが鍵となることが分かってきた。スターとは半径が1の木である。ただしスターを禁止した場合、その木の位数により状況が大きく変化する。例えば連結度とよばれるグラフの不変量について、その値を m とすると、位数が m-k+3 のスターを禁止した偶位数の連結度 m のグラフには、指定された k 本の辺を避けるような完全マッチングが存在する。この結果は k が (m+1)/2 以下では最良であることが知られていた。また多くの研究者は、 k が (m+1)/2 を超えても最良であるだろうと予想していた。ところが調べてみると、k が (m+1)/2 を超えると状況はドラスティックに変化し、禁止するスターの大きさを m-k+3 よりも大幅に上げても、依然として帰結が成立することが分かった。本研究では、禁止するスターの大きさをどこまで大きくできるかを調べ、この範囲で最良となる値を決定した。興味深いことに、今回得られた値は k が (m+1)/2 よりも大きいところで最良であり続ける。すなわち状況の変化は１回しか起こらず、禁止部分グラフの研究の様相の変化は２つにしか分かれない。
このように上記の研究を通して、研究の本質的な対象はスターであることが分かり、またそのスターの大きさで２種類に分類されることが判明した。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
平成25年度の研究目標である「禁止部分グラフの標準的な研究手法の開発」について、目標が明確に定められた。特に研究対象がスターとよばれるグラフに特定されたことは大きい。またスターの位数による様相は２種類しかないことも判明した。従って標準的な研究手法は大きく２つに分類され、しかもスターと呼ばれる簡単な構造のグラフだけで決められる。研究開始前には、禁止部分グラフ研究の様相を決めるグラフに構造の複雑なものが現れ、難度が予想以上に高くなること、また様相が多数発生し、研究が標準的なものにまとまらない可能性が懸念材料であった。しかし本年度の研究により、こうした懸念は取り払われ、残る３年間について焦点を絞った研究ができる目処が立った。こうしたことから研究はおおむね順調に進展していると判断される。
一方、禁止部分グラフとしてのスターの振る舞いを細かく調べるためには、スターを含み,かつ構造が簡単なグラフの無限列を多数構成する必要がある。これは平成26年度に予定していることであり、平成25年度に前倒しで行うことはできなかった。その点から当初の計画よりも格段に進んでいるとは言えない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
平成25年度の当初の計画では、平成26年度はグラフの無限系列の拡充にあった。見定めるグラフがスターになったことで焦点は絞られたが、系列の構成には着手していない。そこで当初の予定通り無限系列の構成に入る。今のところ完全グラフを変形することで、所望のグラフを構築することを考えている。
完全２部グラフからの変形は当初有望と考えていたが、完全２部グラフは多くのスターを誘導部分グラフとして含むので、スターとの相性が良すぎるかもしれないと考え始めている。しかしまだ多くの変形操作を考慮していないので、今後の展開は予想しきれない。また線グラフというグラフの変形操作とそれから得られるグラフのクラスがあり、禁止巣部分グラフの研究にしばしば現れる。そこで多くのグラフの線グラフを調査対象にしてみたいと考えている。
上記の研究が順調に進めば、最後のステージである「禁止部分グラフと相性の良い性質」の調査に入る。今のところ無限系列の構築に集中しているので展開は読み切れないが、ハミルトンサイクルと因子以外にグラフの彩色との関係から着手しようと考えている。
|
Research Products
(5 results)
