2015 Fiscal Year Research-status Report
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25330017
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
斎藤 明 日本大学, 文理学部, 教授 (90186924)
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2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 禁止部分グラフ / グラフ / スター / 因子 / 連結度 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究は様々な禁止部分グラフの研究の背後に潜む共通原理を明らかにし、禁止部分グラフ研究全般に適用できる標準的な研究手法を開発することを目指している。平成25年度の研究では、スターと呼ばれるグラフが従来の様々な禁止部分グラフに共通して現れることを突きとめ、なぜスターがそのような役割を果たすのかを調べた。また平成26年度には pre-coloring とよばれる問題を考えた。これはグラフの彩色とよばれる分野の問題で、従来は禁止部分グラフとの関連はあまり意識されていなかった。ところがこの問題では互いに距離が2であるような頂点対が重要な役割を果たしており、実はこれはスターの位数であることを突きとめた。こうして彩色においてもスターが関与することを明らかにした。
以上のような経緯を踏まえ、平成27年度は禁止部分グラフと相性の良いグラフの性質の特定に挑んだ。グラフの因子は禁止部分グラフと相性の良い代表的な分野だが、拡張可能性に関しては禁止部分グラフとの関連は不明であった。そこで本研究では、拡張可能性は本当に禁止部分グラフとあまり相性が良くないのか、もしそうだとすればその理由は何かを探った。実際に研究を進めてみると、拡張可能性と禁止部分グラフとしてのスターには強い関連があることが判明した。具体的には、禁止するスターの位数に応じて与えられた拡張可能性を保証する連結度が小さくなることを突きとめた。得られた連結度の下界の最善性も証明した。
一方2-因子と禁止部分グラフの関連も研究した。これまで１つのグラフを禁止することにより2-因子の存在を保証するような禁止部分グラフは決定されていた。そこで本研究代表者は複数個のグラフを禁止して2-因子の存在を保証するような状況を調べ、そのようなグラフのペアと３つ組を決定した。以上のように本年度は順調に研究を進めることができた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
平成25年度には禁止部分グラフの研究におけるスターの重要性を浮き彫りにし、平成26年度には従来あまり関連性が意識されていなかった彩色問題に、姿を変えた形で禁止部分グラフが関わっていることを突きとめた。そして平成27年度には、これまでも一般には禁止部分グラフとの強い関連が指摘されてきた因子の問題において新たな関連性を見出した。
当初の予定では、平成28年度にはこのようにして得られた結果とその証明から、禁止部分グラフを扱う一般的な手法を見出し、その有用性を確認することを予定していた。これまでの成果から、その一般的な手法とはグラフの中のスターを見出しその位数を評価することであることが判明した。
このように一般的な手法の形が明らかになったので、平成27年度に2-因子の存在を保証する禁止部分グラフの決定問題を複数のグラフを禁止する状況で扱う際に、スターの位数を評価する方法を試みてみた。すると、禁止するグラフの個数は問題の量的な難易度を上げる（すなわちより手間がかかる）ものの、質的な難易度を変えないことが見出された。すなわち一般的な手法を用いることにより、禁止する部分グラフの個数は問題に本質的な差異を与えないことを明らかにした。こうして本研究が提案する一般的な手法の有用性が示された。
以上のように平成27年度には、平成28年度に取り組もうとしていた研究の一端を進めることができている。わずかではあるが研究は当初の予定よりも早く進展している。
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| Strategy for Future Research Activity |
平成28年度は研究の最終年である。これまでの研究で、本研究が求める一般的な手法とは、禁止部分グラフに含まれるスターの位数の評価であることが分かってきている。またその手法により2-因子の存在を保証する禁止部分グラフの対と３つ組の決定に成功しており、手法の有用性も示された。これを踏まえて平成28年度には、他の問題にも本研究が開発した手法を適用し、さらなる有用性を追求する。因子理論ではグラフの toughness との関連を調べる研究が数多く存在するが、本研究代表者はこれらの問題は禁止するスターの位数の問題に帰着すると考えており、まずはこの点を探る。
一方逆の方向性、すなわちスターの位数を評価するアプローチの限界も探る。グラフの不変量に binding number がある。binding number は一見 toughness と似ているが、toughness と全く異なる側面を見せることも多い。与えられた非負整数m,nについて、与えられたm本の独立辺を含み、それとは別に与えられたn本の独立年を避けるような完全マッチングが存在する時、そのグラフはE(m,n)を満足するという。本研究ではE(m,n)を保証するような toughness、binding number の条件を求めるために、本研究が開発した手法を適用し、２つの不変量の振る舞いの差異を観察する。
また平成28年度には、研究最終年として研究全体のまとめを行う。今までも得られた結果１つ１つは論文としてまとめて発表してきたが、平成28年度には研究全体を俯瞰するような研究成果発表を行う。
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| Causes of Carryover |
平成27年度は海外出張は多かった。為替レート、航空運賃は常に変動するため、計画当初に海外旅費を正確に見積もることは難しい。当初の予定額内に支出を抑えようと物品購入などを控えめに進めたが、結果的に為替レート変動分に相当する未使用額が残ってしまった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
平成28年度は本研究の最終年度であり、研究成果発表のために印刷費を必要とする。これは当初から計上しているが、そのときに比べ印刷費、紙代がやや値上がりしている。次年度使用額 20,489円はこの価格上昇分への対応に当てる。
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Research Products
(13 results)
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[Presentation] Forbidden subgraphs and 2-factors2015
Author(s)
Akira Saito
Organizer
The Second Japan-Sino Symposium on Graph Theory, Combinatorics and Their Applications
Place of Presentation
東京理科大学（東京都・新宿区）
Year and Date
2015-11-03
Int'l Joint Research / Invited
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