Skew-symmetric distributions with natural skewness and their applications to financial engineering

2016 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 25330050
• Research Institution: The Institute of Statistical Mathematics
• Principal Investigator: 藤澤 洋徳 統計数理研究所, 数理・推論研究系, 教授 (00301177)
• Project Period (FY): 2013-04-01 – 2017-03-31
• Keywords: 歪正規分布 / 最尤推定 / EMアルゴリズム / 潜在変数

Outline of Annual Research Achievements

歪正規分布は非常に有名である．Azzalini (1985) が提案して以来，非対称分布の最も標準的な分布として，非常に幅広く使われている．しかしながら，パラメータを推定することが，実は容易ではない．たとえば，最尤推定を行うためには，数値的最適化手法が必要となる．一次元の時には問題ではないが，多次元においては問題が複雑化する．
歪正規分布は潜在変数表現を持つため，EMアルゴリズムの適用が容易に思えるが，実際にはそうではない．一次元の歪正規分布においては，通常の潜在変数表現を利用して，EMアルゴリズムが提案されてはいる．しかし，ある部分で，ある方程式の解が必要になる．そこが自然ではないため，多次元への拡張は容易ではない．そのような研究は存在するが，途中に多次元では容易でない数値計算が含まれていたりで，使いやすいとは言えない．加えて，多次元においては，ダイレクトに数値的最適化で最尤推定を行うのは，かなり大変である．多次元歪正規分布でも容易に適用可能なEMアルゴリズムが存在すれば，多次元歪正規分布でも最尤推定が容易になる．
藤澤は，連携研究者の阿部氏と，これまでに使われなかった潜在変数表現を考えて，陽な形で表現できるEMアルゴリズムを考えた．そのアイデアは多次元歪正規分布の場合にも適用可能である．現在は，数値的な安定性を，確認している段階である．また，最適化における自由変数が組み込まれており，これの扱いが一意ではないため，その部分の検討は将来課題となった．