2013 Fiscal Year Research-status Report
大規模線形方程式の数値解法のための合理的な前処理技法の研究
| Project/Area Number |
25390145
|
|---|
| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
|
| Research Institution | The University of Tokyo |
|---|
Principal Investigator |
伊藤 祥司 東京大学, 情報基盤センター, 特任准教授 (70333482)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| Keywords | 数理工学 / 応用数学 / 解析・評価 / クリロフ部分空間 |
|---|
| Research Abstract |
大規模線形方程式の求解では，CGS法などクリロフ部分空間(KSP)法に基づく反復解法の前処理付きアルゴリズムが用いられることが多い．我々の先行研究では，国際的標準として使用されている従来版の前処理付きCGS法（PCGS）の記述と前処理変換には数理的に非合理的な点があることを指摘し，その改善版を提案した．
今年度の研究内容は，「１．前処理系の数理面に対する解析を行い，我々の改善版について考察」，および，「２．複数の評価方法を用いて，アルゴリズム求解特性（収束性や求解状況など）の分析・評価」の実施であった．これらでは，前処理系の数理面に対して下記の項目A)～C)へと掘り下げて研究に取り組んだ．A)，B)の成果の一部は，論文投稿に向けまとめの作業に入っている．特にB)の解析については，改善版アルゴリズムを簡易に実装する原理の一部を，平成25年度中に口頭発表した．
A) 前処理無しの時点での解法の等価性に関する解析：CGS法はBiCG法を基にして導出され，数理的には両者は等価な関係である．この点に注目して，様々なPCGSアルゴリズムに対応するPBiCG（前処理付きBiCG）を導出し，解析を行った．ここでは，左前処理系と呼ばれるPCGSアルゴリズムにも注目し，従来版PCGSと2種類の改善版PCGSに対し，これら4種類のPCGSを体系的に分析した．
B) 残差多項式と初期残差ベクトルの前処理系に対する解析：様々なKSP法を特徴付ける要素の一つでもある，アルゴリズム中の残差ベクトルと初期残差ベクトルなどの構造にも注目し，その前処理系の構造について解析した．そして，従来版の求解特性についても分析した．
C) 様々な数値実験から得られる求解性能データに対する分析と評価（改善効果の検証）：上述のA)，B)を実施しながら，その検証として当項目を実施した．
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」に記載した「１．前処理系の数理面に対する解析を行い，我々の改善版について考察」，および，「２．複数の評価方法を用いて，アルゴリズム求解特性（収束性や求解状況など）の分析・評価」の２項目は，当課題の申請時点から平成26年度も継続する予定であり，当初の計画どおり，平成26年度も引き続き取り組む．これらに対する具体的な研究項目A)～C)を実施した中で，特にA)，B)の成果の一部については，現在，論文投稿に向けてまとめの作業に入っている状況でもある．また，改善版アルゴリズムを簡易に実装する原理の一部を，平成25年度中に口頭発表した．
|
| Strategy for Future Research Activity |
初年度の研究，「１．前処理系の数理面に対する解析を行い，我々の改善版について考察」を引き続き実施しながら，このような解析結果の応用として簡易実装版の開発にも取り組む．「３．様々な解法の核であるBiCG自体の改造やBiCG部分を他の解法に置き換えた前処理付きアルゴリズムの導出」へと発展させるよう，アルゴリズムの解析と数値実験による性能評価を実施する．
また，上記１，３の各々の研究に対し，２．のアルゴリズム求解特性（収束性や求解状況など）の分析・評価方法の開発も継続して実施する．
|
| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
初年度の研究成果については口頭発表よりも論文投稿に向けたまとめの作業を優先させたため，当初予定よりも出張が少なかった．
平成２６年度の成果発表（口頭発表用旅費や論文投稿に係る経費）に充当する．
|
