2014 Fiscal Year Research-status Report
数論的な多様体のＬ関数とモチーフ的コホモロジーおよび円分体論への応用
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25400007
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
大坪 紀之 千葉大学, 理学(系)研究科(研究院), 准教授 (60332566)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | レギュレーター / L関数 / モチーフ / 虚数乗法 / 超幾何関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数論的な多様体のＬ関数とモチーフ的コホモロジーとの関係についてはさまざまな予想があり、数論の中心的な問題の一つとなっている。これらについて知られている例は少ないが、いずれの場合も、保型形式や特殊関数などの古典的によく知られている対象を媒介することが多い。
フェルマー曲線のレギュレーターが超幾何関数の特殊値の多項式で書けるという研究代表者の以前の結果を精密化し、その値を数値計算した。一方、Ｌ関数の特殊値をMagmaを用いて計算した。そして、これらの比が非常に高い精度で簡単な有理数になることを確かめ、Beilinson予想の傍証を得ることができた。
虚数乗法をもつ楕円曲線の周期がガンマ関数の有理数での値で書けるという古典的なLerch-Chowla-Selberg公式は志村-Deligne-Andersonによってアーベル体に虚数乗法をもつアーベル多様体に一般化された。さらに一般のモチーフへの類似がGross-Deligneによって予想されている。
本研究では、朝倉政典氏（北大）との共同研究において、ある種の多様体に付随するモチーフで円分体に虚数乗法をもつものに対して、上の予想を証明した。この場合の周期は超幾何関数の特殊値で書け、これまでの研究の延長線上にある。さらに、同じモチーフのレギュレーターを超幾何関数の特殊値で書き、その非消滅を証明することができた。これはGross-Deligne予想の混合モチーフへの一般化を示唆している。また、リーマン・ゼータ関数の特殊値がポリログ関数の特殊値であるという事実の一般化にもなっている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
今年度も前半は千葉大学のサバティカル研修中であり、研究に多くの時間を費やすことができた。また、朝倉政典氏との共同研究も順調に進み、期待以上の成果を上げることができた。一方、ｐ進レギュレーターの研究についてはまだ課題が多いままである。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後はｐ進レギュレーターの研究を進める。これまでに得られた複素周期、レギュレーターと超幾何関数やＬ関数との関係の研究のｐ進類似の研究を行う。さらに、その円分体論の応用を探りたい。
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| Causes of Carryover |
前年度後半と今年度の前半は千葉大学のサバティカル研修のため国外に滞在した。そのため、まず前年度からの繰越が多かったこと、そして今年度の出張旅費による支出が少なくなったこと、が主な理由である。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度は、当初の予定通り研究を行うための費用として計画的に使用する。とくに、これまでに得られた研究成果の発表のための旅費などを中心に用いる予定である。
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