2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400008
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
志甫 淳 東京大学, 数理(科)学研究科(研究院), 教授 (30292204)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | ドラーム基本群 / 対数的代数多様体 / 収束アイソクリスタル |
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| Outline of Annual Research Achievements |
(1) Xをpが冪零かつ滑らかなスキームとするとき，適当な仮定の下でXのフロベニウス捻り上の準冪零可積分p接続付加群の圏とX上の準冪零可積分接続付加群の圏が圏同値となり，これはOgus-Vologodsky対応の部分的な一般化となる．今年度はこの結果について書いた論文を改訂し投稿した．
(2) 混標数(0,p)の完備離散付値環上の開半安定還元スキームXの特殊ファイバー上の対数的過収束アイソクリスタルのなすある圏からXの一般ファイバー上の可積分接続付加群のなすある圏への代数化関手が適切な仮定の下で淡中双対の全射を定める．今年度はこの論文を修正を行い，雑誌への掲載に至った．(V. Di Proietto氏との共同研究)
(3) 標数0の対数的標準点上の準射影的単純正規交叉対数的代数多様体に対して，適切な対数的可積分接続付加群のなす圏の淡中双対として定まるドラーム基本群がホモトピー完全列をなし，幾何学的副三角化可能商に対しては最初の射の単射性も言える．今年度はこの定理の証明を修正し，論文の執筆を進めた．（V. Di Proietto氏との共同研究)
(4) 標数0の対数的代数多様体の良い射に対して，相対的副冪単ドラーム基本群が構成されるが，幾つかの定義法がある．それらの一致を証明する研究を進めた．また，この構成により副冪単ドラーム基本群へのモノドロミー作用素が定義されるが，その純代数的な計算法を研究した．（B. Chiarellotto氏，V. Di Proietto氏との共同研究)
(5) de Jongは標数p>0のエタール基本群が自明で滑らかな射影多様体上の収束アイソクリスタルは自明なものしかないと予想したが，このde Jongの予想をXの微分加群の最大スロープが非正なときに証明した．また，この成果に対する論文を執筆して投稿した．(H. Esnault氏との共同研究)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
開スキームに対する代数化関手の研究は期待通りに雑誌への論文掲載に至った．ドラーム基本群のホモトピー完全列の研究については予定よりやや論文の執筆が遅れているが，新たな知見を得たこともあり，研究の進展としては良いことであると思われる．相対的副冪単ドラーム基本群の研究はまだ未完成だが，技術的に注意深くあるべき研究だと考えており，時間をかけるべきなので，予定通りであると言える．また，de Jong予想についての研究は思いがけない着想から得られた大変興味深い成果であり，当初の計画を大きくこえたものである．全体としておおむね順調に進展しているといえる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまでの研究に引き続き，ドラーム基本群のホモトピー完全列，相対的ドラーム基本群の研究を進めていく．ドラーム基本群の研究成果を基にして，p進基本群についても研究を進める．また，de Jongの予想については現在課している収束性，最大スロープについての仮定を弱めた場合の研究を行う．その他，過収束アイソクリスタルおよびそのコホモロジーの研究を進めていく．
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| Causes of Carryover |
研究の進展の都合上，国内外への出張が予定より少しすくなく，またコンピューター関連機器の整備の一部が後回しになった．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
小型プリンター等のコンピューター関連機器を購入する．また，国内外の数論幾何学及び代数幾何学関連の研究集会へ出席し，研究討論あるいは研究発表を行う．学務等の都合で参加できない研究集会については，必要に応じて大学院生に参加してもらい，研究情報の収集に努める．
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