2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400016
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
田口 雄一郎 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (90231399)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
服部 新 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 助教 (10451436)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 数論 / ガロア表現 / モジュライ / 代数体 / 函数体 |
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| Research Abstract |
今井の定理を一般化し、その岩澤理論への応用を与えた。混標数(0,p)の局所体K上の潜在的に良い還元を持つアーベル多様体Aについて、Kのある種の無限次拡大体M上のモーデル－ヴェイユ群の捻じれ部分が有限である事を証明し、論文として出版した（より一般に、固有かつ滑らかな代数多様体のエタールコホモロジー群について同様の結果が示せる）。これは今井秀雄氏による古典的な定理の一般化になっており、岩澤理論に応用がある。
ガロア表現の合同について以下の様な研究を行った：代数体の二つの「幾何的な」ｌ進ガロア表現がmodｌで合同なときそれらは局所的には元々同型か、という問題を研究し、適当な条件の下、この種の命題を証明した。これはRasmussen-Tamagawa予想に応用がある。主定理の一つは次の通り：K,Eを有限次代数体とし、u,vをKの有限素点、λをEの有限素点、b,eを正整数とする。uとλの剰余標数はともにｌであり、vの剰余標数はｌと異なるとする。Kの絶対ガロア群G_Kのn次元E線型表現Vであって次の条件を満たすものの集合を考える：(1)Vはvで半安定、かつE整、(2)V はK_uの或る有限次拡大であって絶対分岐指数がeを割るもの上半安定になり、(3)VのuでのHodge-Tate重みは区間[0,b]に含まれる,(4)Vは「Ｇ型」（幾何学的）。このとき、十分大きい任意の素数ｌと上の条件を満たす二つのガロア表現V,V'に対し、V,V'がu及びvに於いてmodλで合同ならばそれらはvに於いて元々同型である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本研究の目玉の一つであった「East Asia Number Theory Conference」は成功裏に終了したので、これに関しては十分に目的を達成出来た。また、上に述べた「今井の定理の一般化とその岩澤理論への応用」や「ガロア表現の合同問題」については一定の成果を得て論文として出版し、「vanishing cohomology modulesについての研究」や「一つの素数pに対するa_pだけでHecke体が生成される様なpの密度についての研究」もおおむね順調に進展している。さらに、頂切離散附値環の分岐理論については、当初の目的の大きな部分が、本研究の分担者である服部新氏単独の研究により解決され、その論文は既に電子出版されている。以上に関してはかなり順調と言えるが、一方、Ramussen-Tamagawa予想の函数体版やt-motivesのExt群の計算については、未だ手が着いていない状態であり、次年度以降の課題として残っている。
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| Strategy for Future Research Activity |
Vanishing cohomology modulesの研究に於ける一つの課題は、基礎体である局所体の剰余体が不完全である場合に、Coates-Sujatha-Wintenbergerの結果を如何にして一般化するかであるが、これについては以前「今井の定理の一般化」で用いた手法が援用できるのではないかと考えており、今後はこれに取り組んで行く。
一つの素数pに対するa_pだけでHecke体が生成される様なpの密度についての研究は現在崔度勲氏の協力を得つつ精力的に推進しているので、近いうちに良い成果が得られるのではないかと楽観している。
Ramussen-Tamagawa予想の函数体版やt-motivesのExt群の計算については、今一つ方策がはっきりしていず、様子見の段階である。２０１４年６月に函数体の数論に関する大きな研究集会が開かれるので、それに参加してヒントを得て来ようと考えている。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
当該年度には大きな研究集会を予定していたため（次年度以降用の研究費を犠牲にして）初年度用に多めの使用額を計上してあったが、本研究費以外のソースからの援助を得られたので、これに相当する額を次年度に回す事が出来るようになった。これにより、より理想的な使用額配分が出来る事となった。
次年度使用額の534,987円のうち約１割は物品費に、約７割は旅費に、約２割は人件費・謝金に使用する。
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