2014 Fiscal Year Research-status Report
楕円曲線の有理点と整数点，および関連する不定方程式の研究
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25400025
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| Research Institution | Nihon University |
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Principal Investigator |
藤田 育嗣 日本大学, 生産工学部, 准教授 (50514163)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
寺井 伸浩 大分大学, 工学部, 教授 (00236978)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 楕円曲線の Mordell-Weil 群 / 楕円曲線の整数点 / ディオファンタスの m 組 / 国際情報交換 / ルーマニア・クロアチア・アメリカ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
目的１の「楕円曲線 C_m:x＾3+y＾3=m（m:3乗因子をもたない正整数）の Mordell-Weil 群や整数点を調べる」について，rank C_m(Q)=1,2 の場合にそれぞれ整数点を決定することができ，それらの結果をまとめた論文が Acta Arithmetica に受理された．
目的２の「合成数 N に伴う楕円曲線 E:y＾2=x＾3-N＾2 の Mordell-Weil 群や整数点を調べる」について，rank E(Q)=2,3 の場合の結果をまとめた論文が Journal of the Rmanujan Mathematical Society から出版された．
目的３の「ディオファンタスの 2 組のディオファンタスの 5 組への拡張可能性を調べる」について，a<b<a+4*sqrt(a) や b<3*a を満たすディオファンタスの 2 組 {a,b} はディオファンタスの 5 組に拡張できないことを証明でき，前者を含む結果は Journal of Number Theory から出版され，後者を含む結果は Glasnik Matematicki に受理された．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
目的１から目的３までの内容をそれぞれまとめた論文が，それぞれ，雑誌に掲載または受理され，現在新たな問題に取り組んでいる．
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| Strategy for Future Research Activity |
目的３を遂行するにあたって証明した「b<3*a を満たすディオファンタスの 2 組 {a,b} はディオファンタスの 5 組に拡張できない」について，g=gcd(a,b) とするとき，仮定“b<3*a”を“b<3*g*a”に緩和できることに気づいた．このことを含む内容を論文としてまとめたものを現在投稿中である．
さらに，Bo He および Alain Togbe によって考察されたディオファンタスの 3 組 {K,A＾2*K+2*A,(A+1)＾2*K+2*(A+1)} について，彼らは A<11 または A>52329 の場合にこの 3 組はディオファンタスの 5 組に拡張できないことを証明したが，残りの場合にも拡張できないことが示せないか，ルーマニアの Mihai Cipu およびフランスの Maurice Mignotte と共に研究中である．
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| Causes of Carryover |
研究分担者である寺井伸浩氏が足利工業大学から大分大学に異動したことにより，研究打ち合わせの回数が1回減ったため．
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
京都大学数理解析研究所で開催される解析的整数論に関する研究集会に，オーストラリアの Timothy Trudgian が参加予定なので，その研究集会で彼と研究打ち合わせをし，場合によっては旅費等の援助をする予定である．また，大分大学に移動した寺井伸浩氏と研究打ち合わせをするため，大分に出張することを予定している．その他，中国で開催予定の研究集会「Diophantine Analysis and Related Fields 2016」にも参加する予定である．
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