2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400026
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
小森 靖 立教大学, 理学部, 准教授 (80343200)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 多重ゼータ関数 / ルート系 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
有限ルート系を原点を通る特殊な超平面配置と捉えることによって一般の超平面配置に付随する多重ゼータ関数を定義し、これらの特殊値に関する研究を引き続き行い、さらにルート系に付随する多重ゼータ関数の関数関係式を記述する母関数の構成に着手した。
それによれば、多重ゼータ関数の部分ルート系に付随する部分ワイル群の極小剰余代表元による軌道和が、ある種の多重ゼータ関数で表され、さらにこのゼータ関数はベルヌーイ数の拡張の級数として表すことができることが明らかとなった。特に一次元部分ルート系を考えれば、このゼータ関数はよく知られた古典的なレルヒゼータ関数で表され、その指数関数部分がルートから構成される基底の組み合わせによって計算できる。
また一方、極小剰余代表元による軌道和が特殊値の導出の際、消えるかどうかは非常に重要な問題となる。消えた場合、恒等的に0になり新たな情報は得られない。この問題に対し、マクドナルドが導入したワイル群のポアンカレ多項式の一般化を導入し記述する方法を考案した。これを用いれば不変式論で現れるワイル群の次数（または指数）という非常に小さい情報によって判定できることがわかった。特に偶数と奇数が混ざった場合の特殊値を計算する際に必要なポアンカレ多項式に関して、これまで知られていなかった新たな恒等式を発見した。 この考察を推し進めていく途中で、これまで知られていなかった偶数と奇数が混合した場合の特殊値が計算可能であることが分かったため、今後この現象に関して深く追求していく予定である。(松本耕二氏(名古屋大)と津村博文氏(首都大)との共同研究)
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
超平面配置に付随するゼータ関数の特殊値の研究からルート系に付随するゼータ関数の関数関係式の研究へと発展し、また特殊値の記述に関して幾つかの知見が得られており、順調に研究が進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度の研究によって様々なことが明らかとなったが、まだ完成してはいないため、引き続きこの課題について研究を推し進めていく。
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