2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400028
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
尾崎 学 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80287961)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代数体 / ガロワ群 / 制限分岐拡大 / 代数的整数論 / 岩澤加群 / 算術的同値 |
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| Research Abstract |
平成25年度に得られた研究成果は以下の通りである：１．無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理の一般化 Neukirch-内田の定理は有限次代数体の絶対ガロワ群が，その代数体の体としての構造を完全に特徴づけるという主張である．この定理は現在では素体上有限生成な体にまで一般化されているが，素体上有限生成ではない無限次代数体に対してこの定理の主張が成立するかどうかは全く知られていなかった．本研究によって，有限次代数体の円分的Z_p-拡大体に対しては，Neukirch-内田の定理の主張が成立することを証明することに成功した．今後の研究課題として，如何なる無限次代数体に対して，Neukirch-内田型の定理が成立するかを追求することが考えられる．これに関しては26年度以降に継続して研究を行う予定である．
2．制限分岐岩澤加群による代数体の算術的同値性の判定条件
代数体におけるTate予想（Faltingsの定理）の類似として，小松-足立は以下の定理を与えた：kを有限次総実代数体，各素数pに対してK_pをk上1のpべき乗根全体で生成される体, M_pをK_p上の最大p-分岐アーベルp-拡大，X_p＝Gal(M_p/K_p)を対応する岩澤加群とする．このとき，kのデデキントゼータ函数はすべての素数pに対する岩澤加群X_pの同型類から完全に特徴づけられる．この定理の証明では岩澤主予想を使うため，総実代数体に対してしか適用されない．本研究では別の手法によって全く一般の有限次代数体に対しても主張が正しいことを証明することに成功した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
絶対ガロワ群が有限次代数体を特徴づけるというNeukirch-内田の定理を無限次代数体である円分的Z_p-拡大体に対して拡張することで，有理数体の絶対ガロワ群G_Qの指数無限の閉部分群の自己同型に関するより精密な情報を得ることができるので，G_Qの構造に関する新たな知見を得ることができた．
また，制限分岐アーベルp-拡大のガロワ群(岩澤加群）によって，代数体のデデキントゼータ関数が完全に決定されてしまうという事実は，絶対ガロワ群とゼータ函数の関係の一つの側面を表す事実であり，この関係のより精緻な分析への布石となる結果である．
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| Strategy for Future Research Activity |
平成25年度の研究成果を踏まえてさらに研究を推進するために，大きな順分岐拡大を構成するための具体的な方法を追求することに重点を置いた研究を行う．これまでの研究により，通常の反復合成多項式を用いて順分岐拡大を構成することの困難性が明確になってきた．したがって反復多項式に関する知見をさらに集約するとともに，新しいタイプの反復多項式を導入してその性質の研究を行う．具体的には，多項式の無限列｛f_n（X）｝(n>=0)で合成多項式f_lｆ_{l-1}...f_0（X)の分解体が順分岐拡大になるようなものを探す．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
25年度に予定していた海外出張がキャンセルとなり、26年度に延期されたため．
フランスへの海外出張に使用．
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