2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400028
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
尾崎 学 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (80287961)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 絶対Galois群 / Neukirch-内田の定理 / 代数体 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
昨年度に引き続き，２０１４年度も無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理の拡張について研究を行い，一定の進展を見た．
Neukirch-内田の定理は，有限次代数体の絶対Galois群の構造がその代数体の構造を決定づけるという主張である．その証明においては，絶対Galois群の群構造に各素点に対する分解部分群が``encode"されているという事実が鍵であり，当に絶対Galois群と素数との深遠な関係が体現されている定理と言える．無限次代数体Kの絶対Galois群G_Kは，有限次代数体のそれと比べて持っている情報は少なくなるので，そこから容易にKを復元することはできない．昨年度の研究においてKが有限次代数体の円分的Z_p-拡大という特殊な無限次代数体のときにNeukirch-内田の定理を証明することに成功していたが，その際の手法をさらに強化することで，より広範は代数体の族に対して定理を証明することに成功した。詳しい定理のステートメントは以下のとおりである：
Cを有理数体QのGalois拡大体の有限次拡大体で，任意の正整数Nに対して，p=1(mod N)なるある素数pがその次数（超自然数として）を割り切らないようなもの全体の族とする．K_1,K_2をCに含まれる代数体，φをK_1の絶対Galois群G_1からK_2のそれG_2への位相同型とする．このとき，Qの絶対Galois群の元αで，α(K_1)=K_2, φ(σ)=ασα(-1)なるものが一意に存在する．特にK_1とK_2は同型である．Cはすべての有限次代数体と有限次代数体の円分的Z_ｐ-拡大体を含むことを注意しておく．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度に得られた無限次代数体に対するNeukirch-内田の定理は，有理数体の絶対Galois群G_Qの構造について知見を与えている．つまりG_Qのある程度「大きな」閉部分群のすべての自己同型が，G_Qの内部自己同型から引き起こされるという事実を意味している．従ってこれは本研究遂行において重要な研究成果であると言える．
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| Strategy for Future Research Activity |
今後もNeukirch-内田の定理のさらなる改良を目指すとともに，有限次代数体のDedekindゼータ函数が，その代数体上の制限分岐拡大のGalois群の構造をどこまで規定するかという問題にも取り組む．具体的には，有限次代数体の算術的同値性が，ほとんどすべての素数pについて，その体上の最大Ｓ-分岐p-拡大のGalois群の構造を決定することを証明することを目標とする．
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| Causes of Carryover |
予定されていた研究出張(研究打ち合わせ)が，キャンセルになったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
次年度にキャンセルされた研究出張を行う。
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