2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400033
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Hokkaido University |
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Principal Investigator |
松本 圭司 北海道大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (30229546)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 周期積分 / テータ関数 / 超幾何関数 / 交点形式 |
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| Research Abstract |
この研究では、代数多様体の周期積分に関係する局所系係数（コ）ホモロジー群、超幾何関数・微分方程式系や保型形式・関数等がみたす公式を構成し、それらのもつ性質の代数的・幾何学的・組合せ論的な構造をあきらかにすること、そして得られた公式を代数多様体のモジュライ理論や解析数論、等の分野への応用を見出すことを研究目的としている。この研究目的に対して、下記のような研究結果を得ている。
１．射影平面のある特殊な６直線配置で分岐する３重被覆で得られる代数多様体の周期について、連携研究者と共同で構造を解明しつつある。連携研究者のうちの１名により、この２次元多様体の周期積分が、射影直線の４点で分岐する３重被覆で得られる代数曲線の完全周期積分と不完全周期積分により計算できることが示されている。研究代表者は、この周期写像の逆写像をテータ関数による表示を与えている。この内容に関する論文は、現在作成中である。
２．Lauricella により定義された４種の多変数超幾何関数・微分方程式系のうち、F_C と呼ばれるものが、積分表示に関する twisted (co)homology 群の構造を初めてして、モノドロミー表現、Pfaffian system、等に関して多くの未解決問題を有している。モノドロミー表現に関しては、この研究の一環として指導していた博士課程の大学院生が完全な解答を与え、彼の学位論文として結果が公開されている。２変数の場合には twisted cohomology 群の構造を解明し、Pfaffian system を交点形式を用いて表示することに成功している。この結果は近日中にプレプリントとして公開予定。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の研究業績１. に関しては、２次元の代数多様体の周期積分を代数曲線の不完全周期積分で記載することは、まったく新しい手法である。対応している超幾何微分方程式系は可約となっていて、そういう方程式系についての Schwarz 写像に関する研究も研究代表者の知る限りでは、初めてなされるものである。また、不完全周期積分が加わった周期写像に対する逆写像の構成から、保型関数・保型形式の拡張への可能性も見出いしている。
上記の研究業績２．に関しては、超幾何微分方程式系のモノドロミー表現は２変数の場合には約３０年前に解決していたが、３変数の場合でさえ現在まで未解決であった。この研究の一環として、一般個数の変数で解決したことは大きな成果と考えらる。また、twisted cohomology 群の構造に関しても、２変数の場合で交点形式との関係までこめて解明されているので、さらなる高次元の場合への基礎が構成できたとみなしている。
以上より、出版されている論文は現在のところまだないが「研究はおおむね順調に進展している」と評価している。
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| Strategy for Future Research Activity |
上記の研究業績１．に関しては、代数多様体の族に関する Mixed Hodge Structure を解明し、さらにどうような状況でこのような対応が存在するかの基本的な原理を追及する。
周期写像の逆写像に関しては、通常テータ定数（テータ関数の零ベクトルでの値）と周期積分間に存在している Thomae 型公式をテータ関数の変数が零ベクトルでない場合に拡張することを目指す。また、(１－ω)倍や３倍公式の作成とその公式の反復平均への応用も考察する。
上記の研究業績２．に関しては、変数の個数が一般の場合の超幾何関数 F_C の積分表示に関する twisted cohomology 群を、組合せ論的な考察より構造解明を目指す。とくに３変数の場合には、 微分方程式系の Singular locus の１つの成分が、Steiner Surface と呼ばれる特異点を有する有理４次曲面となっていることに注目し、その関数体の構造を調べることで、twisted cohomology 群とその上の交点形式の構造が解明できるものと考えている。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
数千円程度の繰越額が生じているが、無理に使い切るより次年度に繰り越した方が有効に活用できると判断した。
旅費や消耗品の不足額に加えて使用する。
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