2013 Fiscal Year Research-status Report
正標数の代数多様体と特異点のフロベニウス直像の構造に関する研究
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25400035
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 代数幾何 / 特異点 / 正標数 / フロベニウス写像 / F爆発 / ベクトル束 |
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| Research Abstract |
本研究課題の準備段階において, 正標数pの正規曲面特異点のうちとくに, (p＝2,3,5の)有理2重点と単純楕円型特異点のF爆発を研究してきたが, そのうち単純楕円型特異点のF爆発の構造が決定できたので，その結果を論文 "Structure of the F-blowups of simple elliptic singularities" にまとめた. また, そこで用いた手法を, 種数2以上の非特異射影曲線上の錐特異点に対して適用することを試みた. 種数g=2以上ではF爆発の構造を完全に決定することはできなかったが, F爆発の正規化が最小特異点解消と一致するための数値的な十分条件の一つが得られた．
正標数の代数多様体XのF爆発は, 構造層のFrobenius直像の平坦化であるから, F爆発の研究にはFrobenius直像の振舞いを知ることが重要である. F爆発は局所的な概念で, Xが非特異の場合は自明であるが, 非特異射影多様体X上のe次Frobenius直像F^e_*O_Xのベクトル束としての大域的構造の考察はまったく非自明な興味深い問題である. Xが曲線の場合とトーリック多様体の場合には既知の結果があるので, それ以外で最も単純な場合として, 射影平面上の一般の位置にある4点を爆発して得られる有理曲面について, 標数p=2, 3の場合に，構造層のe次Frobenius直像(e=0,1,2,...)の構造を決定した．この場合，e次Frobenius直像の直和因子として現れる直既約ベクトル束の同型類は有限個(直線束が6個, 階数2, 3がそれぞれ1個)であることを示し, これらのベクトル束の構造とそのFrobenius直像の振舞いを明示した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
曲面特異点のF爆発について，単純楕円型特異点の場合について完全な分類を得たことは期待通りである．種数2以上の場合は現在の方法ではこれ以上の進展は得られそうにない状況だが，これは想定範囲内である．フロベニウス直像のベクトル束としての構造の研究に関しては，射影平面を爆発した有理曲面という特殊な例ではあるが，興味深い結果が得られつつある．
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| Strategy for Future Research Activity |
現在，主に計算している射影平面上の4点を爆発して得られる曲面のフロベニウス直像の構造(直既約な直和因子の決定)の研究を完成させ，この手法の，爆発する点の個数を増やした場合など，より多くの場合への適用および一般化を試みる．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
平成25年度に予定していた研究出張を次年度に延期したため
前年度に延期した研究出張などを行なう．
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