2013 Fiscal Year Research-status Report
ケースリー曲面上の自己同型に関する研究の曲線論への応用
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25400039
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Osaka University |
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Principal Investigator |
渡邉 健太 大阪大学, 理学(系)研究科(研究院), 招聘研究員 (70582683)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | ワイヤストラス半群 / 二重被覆 / ACM ベクトル束 / 超曲面 / K3 曲面 |
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| Research Abstract |
今年度の研究は大きく分けて二つある。前半は曲線の二重被覆の分岐点におけるワイヤストラス半群についての研究である。ワイヤストラス点に関して、与えられた非特異曲線の二重被覆の分岐点がいつワイヤストラス点になるかという問題を考えた。
本研究では平面曲線の二重被覆が射影平面の被約 6 次因子で分岐する二重被覆へ拡張する為の条件を二重被覆の分岐点におけるワイヤストラス半群を用いて特徴づけた。しかしながら、現時点では与えられた二重被覆型のワイヤストラス半群の情報が、曲線の二重被覆の拡張として得られる射影平面の二重被覆の特異点の情報をどの程度反映しているかまでは分かっていない。
後半は三次元射影空間の非特異超曲面上の算術的コーエン・マコーレー(ACM) 束の分類に関する研究である。一般に非特異超曲面上のベクトル束はいくつかの ACM 直線束の直和に分解すれば、ACM 束である事がわかる. 又、超平面に対してはその逆も正しい事が Horrocks により知られている. しかしながら、次数が 2 以上の超曲面の場合には反例があり、 2 次、 3 次の超曲面上の分解しない ACM 束の分類に関する研究はそれぞれ Knorrer、 Casanellas 及び Hartshorne らにより行われてきた。
本研究では 4 次以上の超曲面における高い階数の分解しない ACM 束を調べる為、手始めに 4 次曲面における ACM 直線束を分類した。また、それを用いて近年盛んに行われている代数曲面上の安定束のモジュライの研究に付随して、特に 4 次曲面が 2 次のデルペッゾ曲面の二重被覆として得られる場合にその上の半安定な単純 ACM 束の族を各階数に対して構成した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
当初、本年度の計画は K3 曲面のネロン・セべリ格子が 2-elementary である場合に、その様な K3 曲面上の非特異曲線のクリフォード指数を計算する直線束を反シンプレクティックな対合の固定点集合を用いて分類する事であった。しかしながら、実際に行う事ができたのは K3 曲面がデルペッゾ曲面の二重被覆として得られるごく一部の場合に過ぎなかった。これにより K3 曲面上の直線束や曲線上の直線束、線形系の研究に関しては当初の予定を変更し、これまでに得られた結果と経験を元に 2 次のデルペッゾ曲面の二重被覆として得られる 4 次曲面としての K3 曲面に対し、その上の高い階数のベクトル束の研究への応用も視野に入れて研究を行った。
一方、当該研究期間の中程から平成 27 年度に行う予定であったワイヤストラス半群の研究も並行して行った。
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| Strategy for Future Research Activity |
初年度の研究の進展状況に伴い、交付内定時に予定していた研究計画を変更する。ワイヤストラス半群の研究に関しては、これまでに行ってきた結果を元に平面曲線の二重被覆が二次の偏極 K3 曲面に伸びる為の条件を平面曲線の二重被覆の分岐点におけるワイヤストラス半群を用いて特徴づける。特に拡張として得られる射影平面の二重被覆における特異点へワイヤストラス半群が及ぼす影響について調べる。方針としては、手始めに自己同型の多い平面曲線の代表であるフェルマー型 d 次曲線の二重被覆として得られる曲線上の非ワイヤストラス点における半群と分岐因子の関係を調べるところから始める。
並行して、三次元射影空間における 4 次超曲面の安定 ACM 束の族についての研究を行う。これについては、滑らかな 4 次超曲面上の特定のチャーン類を持つ分解しない安定 ACM 束の族の構成について考える。それを元に Ulrich 束と呼ばれる特殊なヒルベルト多項式を持つ ACM 束の存在についても議論していきたい。
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
予定していた消耗品の購入価格が想定よりも安く済んだ為、わずかな差額が生じた。
本年度は助成金の使用額に若干の誤差が生じたが、研究費の使用計画に大幅な変更は無いので、次年度も当該差額を含めて当初の使用計画に基づき研究を遂行する。
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Research Products
(9 results)
