2013 Fiscal Year Research-status Report
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25400041
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Okayama University |
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Principal Investigator |
成瀬 弘 岡山大学, 教育学研究科(研究院), 教授 (20172596)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | シューベルト・カルキュラス / 同変コホモロジー / 組合せ論 / グラスマン多様体 / シューア関数 |
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| Research Abstract |
この研究では、シューベルト・カルキュラスに関するB,C,D型の多項式について同変コホモロジーの視点でより詳しい性質を調べることを主たる目的としている。特に、組合せ論としてExcited Young Diagramの手法を活用して種々の公式を導くことを考えている。グラスマン多様体のコホモロジーの場合は同変シューベルト基底にあたるものは、factorial Schur関数と呼ばれる多項式でありこの積や余積の具体的な公式についてExcited Young diagramを用いることで、余積の場合には公式を作ることができた。このことにより、グラスマン多様体の幾何学的な性質が、多項式の代数的な性質として把握することが可能となると考えられる。これらの多項式はよい性質を持っていて種々の応用ができることが期待できる。また、シューベルト・カルキュラスの応用として、K-理論の場合のhook公式の拡張式を得ることができた。この公式はシューベルト多様体の非特異点と関連していることも判明した。今後は、さらにHecke環との関係を詳しく調べる必要がある。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究テーマである同変シューベルト・カルキュラスについての基礎固めとなるシューベルト類を表す多項式については、その具体形がvexillaryと呼ばれる場合については、より分かりやすい形で表示できるようになった。これはcohomologyとK-理論の場合でほぼ並行していて本質的には同じものであるといってよい。また双対基底としてのdual Grothendieck多項式については、A型の場合には具体形を行列式で表す種々の公式を見つけることができた。B,C,D型については、予想式までは得られている。
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| Strategy for Future Research Activity |
コホモロジー環のシューベルト基底に関する構造定数の記述については、まだ基礎的な数値データの計算が十分に進んでいないので、まずはこの点を補強したい。Hook公式の拡張については、Schubert calculusの枠を超えてHecke環を上手に用いる必要がある。Hecke環の表現論などとの関わりやMacdonald多項式との関係も解明して行きたい。また、応用としてGrassmann多様体等の符号理論への有効な利用についても検討を続けて行く予定である。
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