2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400049
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
池田 京司 東京電機大学, 工学部, 准教授 (40397617)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 射影多様体 / ３次曲面 / ホッジ構造 / 楕円曲面 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
射影空間内の代数多様体に対し、ある固定された重複度の接点をもつ直線全体の集合はグラスマン多様体の部分多様体となるが、本研究ではこれを接線の多様体と呼んでいる。この接線の多様体のホッジ構造を調べ、それにより元の射影多様体のホッジ構造では捉えきれない幾何的な性質を理解することが重要な課題である。
本年度の研究では、接線の多様体の位相的不変量やホッジ理論的不変量を計算するための準備として、旗多様体上のベクトル束のコホモロジーの消滅条件について詳しく調べ、整備した。接線の多様体はグラスマン多様体の部分多様体であるが、接点を区別すればグラスマン多様体上の射影直線束の構造をもった旗多様体の部分多様体と双有理的であり、あるベクトル束の切断の零点として定まる。そのため、接線の多様体のホッジ構造を計算するためには、旗多様体上の基本的なベクトル束のコホモロジーの計算が不可欠である。
また前年度に引き続き、３次元射影空間内の３次曲面に対し、重複度３以上で接する直線全体のなす接線の多様体について詳しく考察した。３次曲面が特異点をもつ場合、接線の多様体はある代数曲線の対称積を群作用で割って得られる曲面と双有理的となることを示した。これにより、具体的なホッジ構造の計算が可能になっている。とくに３次曲面が２個の通常２重点をもつとき、接線の多様体は標準的楕円曲面の構造をもつ。そのピカール数の計算は前年度に行っていたが、本年度はより詳しくこの楕円線束のモーデル・ヴェイユ群を計算し、階数が２、３、４、６のアーベル群が現れることを示した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
射影空間内の超曲面に対する接線の多様体のホッジ構造については、とくに３次曲面などの場合に、より具体的で詳しい結果が得られており、おおむね順調であるが、一般の射影多様体に対する接線の多様体のホッジ構造については、入れ物である旗多様体上のベクトル束のコホモロジーの計算を接線の多様体のコホモロジーに結び付けるところで時間がかかっており、計画よりやや遅れている。
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| Strategy for Future Research Activity |
特異点をもつ３次曲面の接線の多様体のホッジ構造について、計画では退化を利用して周期写像を計算する予定であったが、接線の多様体がある代数曲線の対称積の商となることが分かったため、より直接的な方法でトレリ問題などにアプローチする方針にする。
一般の射影多様体の接線の多様体のホッジ構造については、完全に一般的な状況で計算方法を与えることは困難であるため、特別な場合に限定して計算できる枠組みを構築することを当面の課題とする。
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| Causes of Carryover |
発注した書籍の納品が遅れているため。
日程の都合で、一部の研究集会への出張ができなかったため。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
発注済みの書籍の購入に加えて新たな資料の購入に使用する。
次年度に開催予定の研究集会へ参加するための旅費に使用する。
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