2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400052
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| Research Institution | Rikkyo University |
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Principal Investigator |
塩田 徹治 立教大学, 名誉教授, 名誉教授 (00011627)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 代数幾何学 / フェルマー曲面 / モーデル・ヴェイユ格子 / 高種数曲線ファイブレーション / ネロン・セヴェリ群 / ピカール数 / 3次曲面と２７直線 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
前年度の実施報告書において報告したように、平成２６－２７年度おける最大の研究成果は、「フェルマー曲面の高種数曲線によるファイブレーション」のモーデル・ヴェイユ格子の解明である。
代数曲面の高種数曲線ファイブレーションについてのモーデル・ヴェイユ格子の基礎理論は，研究代表者により、その概要が１９９２年学士院紀要で，より詳細な理論が欧文論文集「代数幾何学のトレンド」（ケンブリッジ大学出版会，１９９９年）で与えられたまま、あまり進展が無かった所に、注目すべき結果が得られた。
最近複素曲面のトポロジーの観点から増田ー松本の論文（２０１３）で導入された「フェルマー曲面の（１直線を軸とする）軸性ファイブレーション」を代数幾何の観点から調べ、この「フェルマー曲面上の高種数ファイブレーション」に対するモーデル・ヴェイユ格子を集中的に研究し，次の諸結果（１－５）を確立した。
１ モーデル・ヴェイユ格子のランク公式。即ち５次以上のフェルマー曲面の軸性ファイブレーションのジェネリック・ファイバー（種数ｇ＞１の平面代数曲線）のヤコビ多様体のモーデル・ヴェイユ格子のランクは、次数ｍの明示的関数として与えられる。２ 一般に、フェルマー曲面上の，軸直線と交わらない直線は，ファイブレーションの切断を与える。特に次数ｍが６と互いに素であるならば，モーデル・ヴェイユ群はこれらの切断で生成される。［デグチャレフの結果を使う]。３ モーデル・ヴェイユ格子のハイト公式。2直線に対応する２つの切断の間のハイトペアリングは、直線達の交点数を用いた明示的な公式で与えられる。４ 格子の実例をm＝５、７、等の場合に計算した。５ m＝５のときはモーデル・ヴェイユ群が torsion をもつことを発見。
平成２７年度には、より高い次数mにたいし、C. Hall と共同研究をしている。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
最大の成果は、「代数曲面の高種数曲線によるファイブレーション」のモーデル・ヴェイユ格子の問題に対する寄与である。このようなモーデル・ヴェイユ格子に関する一般的な基礎理論は約２０年前に研究代表者により確立され、超楕円曲線によるファイブレーションの実例とともに発表されたが、それ以来あまり進展が見られなかった。
さて、われわれの研究テーマの一つであるフェルマー曲面について、増田ー松本によってトポロジーの観点から最近重要な発見がなされた。すなわち，フェルマー曲面の（１直線を軸とする）高種数ファイブレーションを研究し、その特異ファイバーの位置と型を完全に決定した。この「フェルマー曲面上の高種数ファイブレーション」に対するモーデル・ヴェイユ格子を、前年度から当年度にかけて継続的に研究して、上記「実績」の項で列挙したような結果を得ることができた。
第２の成果は、代数幾何学の古典的トピック「３次曲面とその上の２７直線」に関して、永年研究してきたモーデル・ヴェイユ格子の知見を活かして、簡明な構成法を与えることに成功した。この方法は有理数体上の楕円曲線の有理点問題にも応用できると同時に、その初等的構成により、３次曲面とその上の２７直線を実際に描画することも可能で、実曲面の幾何的研究や曲面上の交点理論の視覚化にたいし有用な手法となると思われる。
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| Strategy for Future Research Activity |
１ モーデル・ヴェイユ格子の研究をさらに深める。従来から共同で研究してきた Matthias Schuett (ドイツ国 Hannover 大学教授）ほかとの研究も継続したい。２０１７年３月に開催予定のバンフ・コンフェレンスに出席して、最新の研究状況も把握したい。
２ フェルマー曲面の（高種数曲線によるファイブレーションの）モーデル・ヴェイユ格子についてさらなる研究を、C. Hall (米国ワイオミング大学教授）とすすめる。
３ フェルマー４次曲面について、２０１５年１１月に招待した Degtyarev 教授（トルコ・ビルケント大）との議論を契機に、射影的に同値でない４次曲面を島田伊知朗教授（広島大学）と研究する。
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| Causes of Carryover |
平成２７年度に行った２回の海外出張（中国・西安/北京、およびドイツ・ハノーヴァー大学）において、いずれも
招待をうけることとなったため、当補助金からの出費が不要になった。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
２０１７年３月１２－１７日開催予定のバンフ研究所（カナダ）における研究集会に参加を予定している。
また、計算・描画にすぐれたコンピュータを購入して、モーデル・ヴェイユ格子の研究と応用に役立てたい。
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