2013 Fiscal Year Research-status Report
モジュライ空間上のKZ方程式の基本解とリーマン・ヒルベルト問題
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25400054
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
上野 喜三雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (70160190)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | KZ方程式 / リーマン・ヒルベルト問題 / 多重対数関数 / 多重ゼータ値 |
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| Research Abstract |
平成２５年度においては，大井周氏（平成２６年度より立教大学の任期付き助教）とともに，論文「Fundamental solutions of the Knizhnik-Zamolodchikov equation of one variable and the Riemann-Hilbert problem」（電子アーカイヴにはアップロードしている．arXiv:1301.5102）を執筆した．本論文は現在論文誌に投稿されており，審査を受けているところである．この論文では，１変数多重対数関数Li(w;z)（wは２文字から成る『語』を表している）のみたす反転公式
Σ_{uv=w}Li(τ(u);1-z)Li(v;z)=ζ(reg(w))
（ここで，uv=wは二つの語u,vの接合がwとなることを意味し，τ(u)は語uの文字を入れ替えた上で文字の順序を反転して得られる語を意味する．またζ(reg(w))は語wを正則化して得られる語に対応する多重ゼータ値を表す．）が，自然に，「再帰的加法型リーマン・ヒルベルト問題」と解釈されることを示し，実際にこのリーマン・ヒルベルト問題を複素関数論の枠内で解くことにより，１変数多重対数関数が一意的に特徴づけられることを証明している．さらに，この反転公式が１変数Knizhniki-Zamolodchikov（KZ)方程式の基本解の接続問題
L_0(z)=L_1(z)Φ_{KZ}
(L_0(z)はKZ方程式のz=0で正規化された基本解，L_1(z)はKZ方程式のz=1で正規化された基本解，Φ_{KZ}は所謂「ドリンフェルト結合子」である．）と等価であることより，これら基本解を特徴づける乗法型リーマン・ヒルベルト問題も同時に解けることが証明されている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
平成２５年度における研究目標は，①「１変数KZ方程式の基本解L_0(z),L_1(z)を特徴づけるRiemann-Hilbert問題の理論を確立する」②「１変数KZ方程式の基本解L_k(z)(k=0,...,5）のみたす６角形関係式を大域的Riemann-Hilbert問題と捉えて，これにより基本解を特徴づける」の２点であった．一番目の目標に対する成果が，上記の論文である．二番目の目標に関する研究の進捗状況であるが，基本解の６角形関係式から多重対数関数に関する６角形関係式を導くことには成功しているのだが（結果は未発表），その６角形関係式のコサイクル関係式を記述するところで，研究が難渋している．したがって，当初意図してた研究成果までは到達できていないという判断である．
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| Strategy for Future Research Activity |
上述の研究進度の自己評価らも明らかなように，目標②「１変数KZ方程式の基本解L_k(z)(k=0,...,5）のみたす６角形関係式を大域的Riemann-Hilbert問題と捉えて，これにより基本解を特徴づける」の達成に向けて最大限の努力を傾注することが今年度の目標である．多重対数関数の６角形関係式に対するコサイクル関係式は，多重ゼータ値に関する情報を豊富に含んでいることが予想され，多重ゼータ値の研究に新しい視点をもたらす可能性を秘めていると思われる．
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