2014 Fiscal Year Research-status Report
組合せ論的位相幾何学の新しい手法の可換代数への応用
| Project/Area Number |
25400057
|
|---|
| Research Institution | Kansai University |
|---|
Principal Investigator |
柳川 浩二 関西大学, システム理工学部, 准教授 (40283006)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
|
| Keywords | 組合せ論的可換代数 / 局所コホモロジー / Lyubeznik 数 / アファイン有向マトロイド / 極小自由分解 / 正則CW複体 |
|---|
| Outline of Annual Research Achievements |
平成26年度に執筆・投稿した論文は2本、他に、現在進行中の題材が2つある。
執筆した2本の論文は、ともに(主として Stanley-Reisner環の)Lyubeznik数に関するもので、前年度からの継続である J. Alvarez Montaner 氏との共同研究、 及びここから派生した A. Banerjee氏, L. Nunez Betancourt氏との共同研究である。前者の主定理は、Stanley-Reisner環 K[Δ] の Lyubeznik数が、単体的複体 Δ の幾何学的実現の位相(と、基礎体 K の標数)のみで定まることを示すもの。この他にも、Lyubeznik数の基本性質、および計算上のテクニックも幾つか与えている。後者の主結果は、polarization と言う操作が Lyubeznik数を保つこと等。
進展中の題材の一つは、岡崎亮太氏(福岡教育大学)との共同研究であり、アファイン有向マトロイド(「超平面配置」の組合せ論的構造の抽象化)の有界複体の位相的性質を可換環論的手法を用いて調べるもので、今回の研究課題である「組合せ論的位相幾何学の新しい手法の導入」に非常に適したものと言える。大筋は、Novik, Postnikov, Sturmfels が2002年に発表した論文からの自然な発展であるが、付随する可換環のＣＭ性から、有界複体のＣＭ性を導く議論には前例がなく、斬新なものかと思われる。進展中の話題の2つ目は、L. Katthan氏(オスナブリュック大学)との共同研究で、本基金からの援助で先方を訪れた際に研究の端緒を得たものである。具体的には、可換環 R の正準加群の構造と R の正規性との関連であり、代表者が26年度に出版した論文の一部内容からの発展と言える。
|
| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
納得できる結果も得られ、論文執筆も順調で、既に幾つかは受理または出版されている。ただし、研究の基本思想は申請時と変わらないものの、取り扱う具体的な題材は，当初想定したものとはやや異なってきている面もある。総合的に評価すれば，「おおむね順調」であろう。
|
| Strategy for Future Research Activity |
現在進展中の題材で、最も有望と思われるのは、アファイン有向マトロイドの研究への可換環論的手法の応用である。これは、そもそも本研究課題申請時には全く想定していなかったものであるが、本課題の基本思想には非常によく合致したものと言える。来年度は、この方向を中心に研究を進めたい。
|
| Causes of Carryover |
当該年度の支出に関しては申請時の計画通りであったが、前年度からの繰越分が残った（前年度に計画通り支出できなかったのは、本務校の用事の為、海外出張を見送ったことによる）。
|
| Expenditure Plan for Carryover Budget |
現在、岡崎亮太氏(福岡教育大学)との共同研究が好調であり、間もなく実際の執筆作業に入る段階である。先方を何度か訪ね、緊密に連絡を取りながら進めて行きたい。また、L. Katthan氏(独、オスナブリュック大学)との共同研究も進行中であり、こちらも十分に意見交換・研究打合せを行いながら、結果の更なる改良を目指す。
一方、27年度は本研究課題の最終年度であるので、成果発表にも力を入れる。現時点で開催場所等が決まっている参加予定の集会は、毎年2回開催される日本数学会の全体集会の27年9月開催分(京都産業大学)、同28年3月開催分(筑波大学)、および第37回可換環論シンポジウム(岡山市)である。この他、適切な研究集会があれば、積極的に参加し、講演・口頭発表を行いたい。
|
