2015 Fiscal Year Research-status Report
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25400065
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| Research Institution | Ochanomizu University |
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Principal Investigator |
塚田 和美 お茶の水女子大学, 基幹研究院, 教授 (30163760)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
江尻 典雄 名城大学, 理工学部, 教授 (80145656)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2017-03-31
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| Keywords | 四元数多様体 / 全複素部分多様体 / 複素グラスマン多様体 / 四元数射影空間 / 横断的複素部分多様体 / 結合的グラスマン多様体 / ツイスター空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
四元数多様体及び四元数（擬）ケーラー多様体の複素部分多様体あるいは（擬）ケーラー部分多様体を対象とし次のような課題を追求し成果を得るとともに、得られた研究成果を発表した。
1.複素グラスマン多様体の全複素部分多様体の構成、分類理論に関し得られた成果をまとめた論文が、微分幾何学の専門雑誌“Differential Geometry and its Applications”に掲載され、国際的に成果を発信することができた。
2. 四元数射影空間の横断的複素部分多様体に関する四元数複素微分幾何学の基礎理論の研究を前進させることができた。具体的には以下の成果を得た。横断的複素部分多様体に対し四元数ベクトル空間の複素構造テンソルに値をもつ関数Sが定義されることは既に示してあり、横断的複素部分多様体のガウス写像と呼んだ。このガウス写像の値域となる空間が擬エルミート対称空間になることを示し、横断的複素部分多様体の幾何学的性質とそのガウス写像の幾何学的性質との関係について興味深い結果を得た。この結果を含む四元数射影空間の横断的複素部分多様体に関する研究成果を論文にまとめ、当該分野の専門雑誌に投稿した。また、これらの成果について、山口大学で開催された研究集会で講演した。
3. 等質四元数（擬）ケーラー多様体の全複素部分多様体の構成、分類理論を進展させる課題に関しては、平成26年度に研究された複素グラスマン多様体、実グラスマン多様体に続き、同じく四元数ケーラー対称空間である例外型の 結合的グラスマン多様体G2/SO(4) について研究を開始した。その四元数構造を具体的に記述し、その全複素部分多様体の典型例になると考えられる４次元全測地的部分多様体について部分多様体としての記述を具体的に与えた。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究目的、研究実施計画に沿って研究が進み、目標とした研究課題について一定の成果が得られたので、「おおむね順調に進展している。」と判断した。
具体的には「四元数射影空間の横断的複素部分多様体に関する四元数複素微分幾何学の基礎理論の構築」という課題では、この部分多様体の幾何学的性質を解析するために重要な役割を果たすと思われるガウス写像について、理論を前進させた。さらに、研究成果を論文にまとめ、当該分野の専門雑誌に投稿した。
「等質四元数多様体あるいは等質四元数（擬）ケーラー多様体の全複素部分多様体の構成分類理論の展開」という課題では、複素グラスマン多様体、実グラスマン多様体に続き、同じく四元数ケーラー対称空間である例外型の 結合的グラスマン多様体G2/SO(4) について研究を開始し、全複素部分多様体の構成、分類理論の研究に関する準備的結果を得た。
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| Strategy for Future Research Activity |
1.四元数射影空間の横断的複素部分多様体に関する四元数複素微分幾何学の基礎理論を構築する課題に関しては、前年度までに得られた到達点を踏まえ、引き続き、次のような問題に重点的に取り組む：(1) 横断的複素部分多様体のガウス写像を活用して、新たな不変量や4次元球面内の曲面に対する Willmore汎関数に相当する汎関数を見出す。さらに、その汎関数の変分問題の解となる部分多様体を研究する。(2) Baecklund 変換に相当する変換の理論、変形の理論、moduli spaceの理論を構築する。
2．等質四元数（擬）ケーラー多様体の全複素部分多様体の構成、分類理論を進展させる課題に関しては、平成27年度に研究を開始した結合的グラスマン多様体G2/SO(4)に対し、その全複素部分多様体の具体例の構成を中心に研究をさらに進展させる。
3. これまでに得られた成果の発信と四元数複素微分幾何学の研究のさらなる進展のため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による国際研究集会を開催し、研究交流を進める。９月上旬に開催する予定である。
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| Causes of Carryover |
２７年４月に所属研究機関にグローバルリーダーシップ研究所が設置され、その所長に任命された。開設初年度でもあり研究所の業務に注力する必要があり、国内外への出張がしにくく、直接訪問しての研究交流や研究発表がしにくかったこと。
以上のような理由で次年度使用額が生じた。
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| Expenditure Plan for Carryover Budget |
これまでに得られた成果の発信と四元数複素微分幾何学の研究のさらなる進展のため、本研究課題やより広く四元数複素微分幾何学に関する国内外の研究者による国際研究集会を開催し、研究交流を進めたいと考えている。海外からできるだけ多くの研究者を招聘したいと考えている。またそのほか、国内外での研究成果発表の機会を得たい。
以上のように研究交流、研究成果発表を行うための旅費に多くの予算を充てる計画である。
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