2013 Fiscal Year Research-status Report
等質空間上の概複素構造と共形幾何学的構造についての研究
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25400066
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Grant-in-Aid for Scientific Research (C)
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| Research Institution | Niigata University |
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Principal Investigator |
長谷川 敬三 新潟大学, 人文社会・教育科学系, 教授 (00208480)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
神島 芳宣 首都大学東京, 理工学研究科, 教授 (10125304)
塚田 和美 お茶の水女子大学, その他部局等, 教授 (30163760)
守屋 克洋 筑波大学, 数理物質科学研究科(系), 助教 (50322011)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2016-03-31
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| Keywords | 等質局所共形ケーラー構造 / Vaisman構造 / 国際研究者交流 (ドイツ, ロシア) |
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| Research Abstract |
平成22年ごろから長年手がけて来た等質局所共形ケーラー多様体の研究に関する一連の論文が完成していずれも現在投稿中である．神島氏 (研究分担者) との共著として「Compact Homogeneous Locally Conformally Kaehler Manifolds」(arXiv:1312.2202) において，コンパクト等質局所共形ケーラー多様体の構造定理として，最初の主結果「複素多様体としては複素旗多様体上の１次元複素トーラスをファイバーとする正則ファイバーバンドルの構造をもつこと，およびリー形式がエルミート計量に関して平行であるというVaisman構造をもつこと」を示した．最近，これらの結果の非コンパクトな場合への拡張を含めた諸結果を，神島氏と共にD. AlekseevskyとV. Cortesとの共著として「Homogeneous locally conformally Kaehler and Sasaki manifolds」(arXiv:1403.3268) を完成させた．また，論文「Locally conformally Kaehler structures on homogeneous spaces」(arXiv:1101.3693), Progress in Mathematics, Shoshichi Kobayashi Memorial Volume に掲載決定，において，等質局所共形ケーラー多様体に関する基本的な結果のSurveyとともにコンパクト実４次元の局所共形ケーラー多様体で等質または局所等質なものの分類をLie環の分類に基づいて完成させた．なお，平成25年度中に神島氏とは数回新潟と東京にて，また D. AlekseevskyとV. Cortesとは25年3月にチェコのブルノおよび26年3月に首都大学東京にて研究打ち合わせを行った．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
「研究実績の概要」に述べた様に，等質局所共形ケーラー多様体の研究に関いてはコンパクト等質局所共形ケーラー多様体の構造定理の証明の完成まで何度か困難にも遭遇したが，新しい手法を考案したり別の視点から捉え直したり，また研究の枠を広げるなど今後の研究にも繋げことの出来る研究成果が得られた．共同研究の枠を国際的なものに出来たこともひとつの大きな成果であると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
等質局所共形ケーラー多様体の研究に関して，今までは主に簡約Lie群 (reductive Lie groups) およびベキ零Lie群 (nilpotent Lie groups)の場合を研究して来たが，今後の課題として可解Lie群 (solvable Lie groups)の場合の研究を本格化したい．特に，Vaisman構造について，その決定問題とともに変形理論やcohomology群との関係等，未解決の問題が多々あり，今後の研究課題としたい．別の関連する研究課題として，局所等質コンパクトケーラー多様体や局所等質コンパクト局所共形ケーラー多様体の研究がある．また等質空間上の概複素構造に関する研究に関して，単連結ベキ零Lie群上の左不変な複素構造は複素アファイン空間と双正則である，という予想，またそれらの複素変形は左不変な複素構造になる，という予想問題があり，最近関連する研究が盛んになって来ていて，部分的な結果もいくつか知られている．これらの予想は単連結可解Lie群の場合はすでに「Small deformations and non -left-invariant complex structures on six-dimensional compact solvmanifolds, Differential Geom. Appl., 2010」においてその反例を示している．また複素構造をもつ可解Lie環のDolbeault cohomology群に関する研究も最近盛んになって来ていて，興味ある結果もいくつか知られている．なお，平成26年6月にはイタリアのトリノにおいて第３回「複素幾何学とLi群」研究会を開催する準備を進めている．この研究会を通じて関連する研究分野のさらなる発展を期待したい．
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| Expenditure Plans for the Next FY Research Funding |
平成26年度に国際研究集会の開催を企画した．期間は平成26年6月16日～20日，開催場所はイタリアのトリノ大学，参加者は平成26年4月1日時点で50名，うち講演者数は30名はすでに決定している，講演者招聘，および若い研究者の旅費の資金援助の為に，当該年度の助成金の一部を次年度にあてることとした．
国際研究集会「第３回複素幾何学とLie群」(Complex Geometry and Lie Groups)，2014年6月16日～20日，トリノ，の開催費用として，5,000EUR (750,000円) を計上している．ホームページは
http://math2.ed.niigata-u.ac.jp/~kaehler/torino.html
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