2014 Fiscal Year Research-status Report
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25400068
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
楯 辰哉 東北大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (00317299)
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| Project Period (FY) |
2013-04-01 – 2018-03-31
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| Keywords | 量子ウォーク / 局在化 / 周期的ユニタリ推移作用素 / 絶対連続スペクトル / 固有値 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は引き続き量子ウォークを多角的な始点から研究した。量子ウォークにおいては一次元の極単純な設定においてすら、ある点に粒子が無限時間留まる確率が正となる、いわゆる「局在化」現象が、Konno らにより発見されている。その後 Konno らは様々な具体的な量子ウォークに対して局在化が起こることを見出している。本研究代表者は、これらの局在化現象が起こるメカニズムをきわめて一般的に明らかにした。実のところ、これ自身はきわめて単純で、一般にユニタリ作用素が固有値を持つとき、対応する確率分布は局在化現象を起こすことが単純な考察で分かる。代表者はこれだけでなく、標準格子上の平行移動不変な量子ウォークを一般化した、標準格子上の「周期的ユニタリ推移作用素」というクラスのユニタリ作用素を導入し、スペクトルを調べた。その結果、固有値と絶対連続な連続スペクトルしか持たないことが分かった。特にこれにより、局在化が起こるためには固有値を持つことが必要十分であること、そしてさらに固有値が唯一つの場合には、各点での確率分布が時間無限大の極限で零に収束することを示すことが出来た。この結果は既に論文にまとめ arXiv に投稿したのであるが (1411.4215v1(math.FA))、その後 A.Joye 氏との議論において、その論文の一部分が劇的に簡略化されることが分かり現在、改訂中である。この結果は当然予測されていた結果であり、驚きはない。しかし今回導入した「周期的ユニタリ推移作用素」というクラスのユニタリ作用素は群をなし、その群はユニタリ群のループ群の部分群をなす、自然な対象である。さらに、昨年度までの研究において、量子ウォークとA型アフィンWeyl群の関係が見出されていたが、アフィンWeyl群がループ群のWeyl群と見なすことが出来ることを考えると、今後、量子ウォークの表現論的、定性的な性質の解明に大きく寄与するものと期待している。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初予定していた研究課題の一つに2次元の場合の特殊なクラス（グローバークラスと呼んでおく）の量子ウォークは、A型アフィンWeyl群と密接に関連し、実際アフィンWeyl群の特殊な生成元の交換関係を巧みに使用することにより、グローバークラスに属するものでも、さらに特殊なものについてはベキ乗の明示公式を得ることが出来ている。しかし、一般にこのクラスの量子ウォークは十分多彩な長時間挙動を持つことが、そのスペクトル構造から容易に予想される。特に局在化現象は、長時間挙動の解明を難しくしている一つの原因であるが、この原因を、グローバークラスとは限らない、全ての（空間的に斉次な）量子ウォークを含むクラスの作用素（上述の周期的ユニタリ推移作用素）に対して究明したことには、上述の研究課題の一つへの大きな貢献であると考えることができる。それだけではなく、長時間挙動、特に極限分布の導出が如何に困難かを示唆する結果となっている。
また、当初予定していた一次元の量子ウォークの半古典極限に関する研究は現在の所、進展はない。上述の局在化現象の原因の究明を優先させたことが原因の一つである。また、Konno, Segawa, Higuchi, Sato らにより、有限グラフ上のSzegedy ウォークと呼ばれるクラスの量子ウォークが多角的に研究されている。特にグラフのゼータ関数との関連が調べられており、興味深い。現在の所研究代表者は有限グラフ上の量子ウォークは、表面的には扱っていない。しかし、実はグラフゼータ関数や、それに密接に関連したグラフ上の素数定理のエラー項つきの評価の研究においても既に興味深い幾つかの点が分かってきている。これについて今後の進展が期待されるが、量子ウォークとの関連についても、今後調べて行きたいと考えており、これらの情報収集・基礎研究に時間を費やしたことも原因である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今年度は、まず昨年度導入した周期的ユニタリ推移作用素のスペクトル構造に関する結果の論文の改訂をいち早く終え、学術誌へ公表したい。その後に一次元の斉次的量子ウォークの半古典極限の計算を行う。半古典極限の計算は、申請調書を作成した当時の段階から進んでいないが、そのとき既にかなりの計算結果が得られていた。その後、様々な状況の把握や理解が進んだため、上記の通り、より重要と考えられる研究を優先した結果、半古典極限の計算が進んでいないのであるが、今年度はこれを行う予定である。また、先に述べたグラフゼータ関数とそれに関連するグラフ上の素数定理の剰余項評価は、グラフゼータ関数の極の性質とグラフ素数定理との関連がはっきり見える段階まで研究が進んでいる。この研究課題は調書には記述しなかったが、研究が進んだため見えてきた課題であるため、むしろ好ましい状態と考えている。有限グラフ上の特殊な量子ウォークとグラフゼータ関数の類似物に関する先行研究を考えると、たいへん興味深い研究課題であり、これにも着手していく予定である。
２次元グローバークラスの量子ウォークの弱極限分布の導出は、残念ながら現在のところ、かなり困難な問題と言わざるを得ない。ある5項間漸化式を満たす多項式の挙動を詳しく調べる必要がある、ということまでは分かっていて、さらにその多項式系の母関数も分かっている状態であるため、計算は不可能ではないかもしれない。しかし、具体的に弱極限分布を計算するには、きわめて煩雑な計算を遂行する必要があり、暗礁に乗り上げている。そのかわり、グローバークラスとアフィンWeyl群の関連について、昨年度導入した周期的ユニタリ推移作用素もアフィンWeyl群と密接な関係を持っていることも確認済みである。この関連をさらに深く追求し、グローバークラスの量子ウォークのむしろ定性的な性質の解明につながるよう、努力して行く。
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Research Products
(5 results)
